wayne 发表于 2010-6-9 09:31:15

mathe估计说的就是 等宽曲线一族：
http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/reuleaux.gif

mathe 发表于 2010-6-9 09:42:05

普通的等宽曲线应该不行，因为大部分法线不过重心。
而如果封闭凸曲线出处光滑，而且随欲平衡（也就是所有法线交于一点），那么应该只能是圆

wayne 发表于 2010-6-9 09:57:23

12# mathe


嗯，我们其实应该就是在找封闭和凸的曲线，
处处光滑的确只能是圆。

hujunhua 发表于 2010-6-9 11:44:01

随遇平衡自然是圆，不需要假设光滑。因为随遇平衡体的重心在滚动中保持恒定高度。
那么，wayne打的岔了结了吧。

唯一平衡曲线呢？mathe说的花苞状曲线没见到图啊，是指下面图片中左一投影吗？
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/month_1006/1006071514add896855a7cb2e3.jpg

hujunhua 发表于 2010-6-9 11:54:03

假定存在唯一平衡的卵形线，在原点取在重心的极坐标系中方程为ρ=ρ(θ),(0<=θ<2π), 那么ρ(θ)仅有唯一极小值。

hujunhua 发表于 2010-6-9 23:04:37

将极坐标系的原点置于卵形线的内部，那么卵形域的重心为{\int_0^{2\pi} \rho^3 e^{i\theta}d\theta}/{3S}(S为面积），所以重心在原点的充要条件是\int_0^{2\pi} \rho^3 e^{i\theta}d\theta=0
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