mjs1wh 发表于 2010-8-4 22:47:04

以1开头的自然数在所有自然数中占多大比例

一般人可能会认为自然数可以有1-9开头，每种各占1/9。问题没这么简单，例如，当n=19时，以1开头的自然数所占比例为11/19。对于所有自然数我们该怎样确定一个合理的比例呢？


初来咋到，发个帖试试

northwolves 发表于 2010-8-4 23:06:56

欢迎mjs1wh！！！
二十年前曾很痴迷于此类问题。
当时结论如下：
如果是随机取N个自然数，1开头的概率是1/9
如果判断1-N之间的N个自然数，1开头的概率是lg2=0.3010

northwolves 发表于 2010-8-4 23:12:39

去年还看到过一篇文章，据说作者因此破格提教授了：
http://jxy.lszxedu.com/wz/35.pdf

wool 发表于 2010-8-5 09:38:38

本福特定律说明在b进位制中，以数d起头的数出现的机率为
P(d)=\log_b(d+1)-\log_b(d)=\log_b (1+\frac{1}{d})

http://en.wikipedia.org/wiki/Benford_law

mjs1wh 发表于 2010-8-5 13:28:59

多谢指教，这个问题我也是二十多年前看到的，当时好象还没有解，一直没搞懂，原来对数密度是lg2。但不用对数密度的定义是否可行呢？我曾考虑过将P(n)作为一个变周期函数，然后求这个函数的算术平均值或几何平均值，不知是否可行？

neypal 发表于 2010-8-7 11:03:29

3# northwolves


看了两眼，作者一开始就在偷换概念，还没你前面两句说的思路清晰

还是你直接去应聘那边的教授比较靠谱

mjs1wh 发表于 2010-8-7 11:22:58

哈哈，应聘教授可不敢，不过我也觉得用概率、机率、对数密度等概念来描述不太严密，就象量子力学不太容易被人接受一样。
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