282842712474 发表于 2010-8-19 23:46:43

契尔恩豪森转换

对于一般的五次方程式
http://upload.wikimedia.org/math/3/c/5/3c59c4f75b01c1ba2b2c0e86dc124b3e.png 可以借由以下的转换
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/e/80ed4d3ea8834c3260e93c5b2ebfc811.png 得到一个http://upload.wikimedia.org/math/e/c/9/ec9ff0a12771e750c2685d3b89a37c79.png的五次多项式，上述的转换称为契尔恩豪森转换（Tschirnhaus transformation），借由特别选择的系数http://upload.wikimedia.org/math/d/5/4/d54e46539fb4172bc2787a028ef123ce.png，可以使http://upload.wikimedia.org/math/8/2/a/82aca6ac559fa557d84b296f7d360d94.png,http://upload.wikimedia.org/math/a/4/c/a4c5448c3982f8f823be19d55fca8480.png,http://upload.wikimedia.org/math/8/0/6/8066625716f57e733878042849dda77b.png 的系数为http://upload.wikimedia.org/math/b/7/2/b7277a3bac777f05d8acc80a07ed0e19.png，从而得到如下的方程式：
http://upload.wikimedia.org/math/1/4/1/1419dda40adac29934cdcbebb23d7845.png

其步骤如下： 首先令
http://upload.wikimedia.org/math/7/3/1/7314384dba22ebde7043303e2f5e7af1.png 可消去四次方项，得到
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/8/e5831a1ce49e5aa2039beb1f54420b68.png；

接下来，令http://upload.wikimedia.org/math/1/2/8/128f4b6755f63869bf129d112899ca1a.png， 得到
http://upload.wikimedia.org/math/6/2/1/62134bf0df29156b96010821ac48ad70.png，

看到红色部分就停住了，谁可以解释一下呀？

mathe 发表于 2010-8-20 11:08:38

这个应该只是一个假设，然后需要代入验算的，目的应该是使P,Q,A等有更多数据为0

wayne 发表于 2010-8-20 11:55:33

一般性的五次方程，是不存在根式解的，所以，楼主别指望用根式的形式来 表达五次方程的解了

wayne 发表于 2010-8-20 12:02:08

要看懂步骤，我们还得看看契尔恩豪森转换的原型，看具体是怎么变换的。。。。

查了一下，契尔恩豪森转换原先是指，经过一系列代换，可以将 n次多项式方程的n-1 ,n-2项消去。
而后来Jerrard 指出，利用契尔恩豪森转换 可以消去n-1,n-2,n-3 次这三项：
http://mathworld.wolfram.com/TschirnhausenTransformation.html

wayne 发表于 2010-8-20 14:13:56

The impossibility of solving general quintics in radicals

http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html

282842712474 发表于 2010-8-20 17:36:00

将http://upload.wikimedia.org/math/1/2/8/128f4b6755f63869bf129d112899ca1a.png代入http://upload.wikimedia.org/math/6/2/1/62134bf0df29156b96010821ac48ad70.png，得到的应该是一个关于y的十次方程，为什么得到http://upload.wikimedia.org/math/e/5/8/e5831a1ce49e5aa2039beb1f54420b68.png？

wiley 发表于 2010-8-22 10:03:54

本帖最后由 wiley 于 2010-8-22 10:16 编辑

这个用的是结式 ( Resultant ), 即用辗转相除法消去 $x$.得到 $P$ 和 $Q$ 的表达式后, 设为 $0$ 解得 $p$ 和 $q$ .

$z$ 满足的方程确实是 $y$ 的十次方程, 等同于原来的方程和另一个五次多项式的乘积.所以 Tschirnhaus transformation 会产生增根 (比如三次方程用同样的变换得到一个只有三次和常数项的方程, 得到三个根后再代入变换的两次方程会得到六个根, 必须代回原方程检验)

其实到这步只是消去三次和四次项.从自由度考虑, 只需要三次的 Tschirnhaus transformation 即可把两次项也消去.不过这样得到的待定系数所满足的方程通常是 $6$ 次的, 没有根式解.后来就有了Wayne所说的 Bring 和 Jerrard 的贡献, 要用 wikipedia 上所说的四次 Tschirnhaus transformation

wayne 发表于 2010-8-22 10:28:18

wiley ，:victory:
我发现你特别擅长代数和分析。
印象中你还是搞物理的，实乃emath里的又一人杰也
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