论坛 › 趣题妙解 › 用代数数逼近π

数学星空 发表于 2010-8-24 19:47:04

59#提到的电子书
下载地址:
http://hotfile.com/dl/29365646/9584f11/A_course_in_computational_algebraic_number_theory_-_Cohen_H..zip.html

wayne 发表于 2010-8-25 10:12:32

79# liangbch
惭愧，俺一点都不牛，:L
这个早在18楼那会 zgg就说明了，用Mathematica搞定的，旧版本的就是zgg给的代码，新版本的就是
下面的代码了：MinimalPolynomial, 100], x]medie在57楼 得出的那个超大的根式也是用Mathematica算的RootApproximant, 2]

无心人 发表于 2013-2-21 11:09:26

昨天想到，假如针对10000以内的无平方因子数的平方根，
都求出它的连分数精确到$10^(-24)$的结果，然后
对于2个平方根的逼近形式
$(a sqrt(b)+c sqrt(d)) / e$
$sqrt(b)$精确到$10^(-24)$的连分数逼近得到的分数形式$b_1/b_2$
$sqrt(d)$精确到$10^(-24)$的连分数逼近得到的分数形式$d_1/d_2$
$\pi$的连分数逼近得到同样精确到$10^(-24)$的结果$p_1/p_2$
原式子转化为
$ ((a b_1 ) / b_2 + (c d_1) / d_2) / e = p_1 / p_2$
如果假定$a$, $c$, $e$为变量
将得到一个三元一次的整系数的不定方程，
于是，原来是$n^5$的搜索次数将降低为$n^2$
只需搜索$sqrt(b)$, $sqrt(d)$的组合，并解一个三元一次整系数不定方程即可

mathematica 发表于 2013-4-10 14:00:07

(1267256520886661761545611563843081 + sqrt(13541836862246176906707231322058777709819099266534540061242195281)) /440421808859358185420682749898720
medie2005 发表于 2010-8-24 11:10 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

我好奇的是这个数是如何得到的!

mathematica 发表于 2013-4-10 14:00:54

57# medie2005


57#,你这个数是怎么得到的呢?

mathematica 发表于 2019-3-11 14:10:26

RootApproximant, 2]

\[\frac{\sqrt{767326185466995005}-168768125}{225109847}\]

uk702 发表于 2020-11-16 12:27:59

wayne 发表于 2010-8-23 10:08
比如，用{a+b*\sqrt(c)}/d,a,b,c,d都不超过100，逼近Pi最好的不知道是不是：

{39 + \ ...

你把它当一等公民的效果太差，经检验，a, b, c, d 4个数均在 100 以内，结果最好的是 (49+23sqrt(75))/79，误差为 2.941370...*10^-7，还不如 355/113 ，它的误差是 2.66764... *10^-7

zeroieme 发表于 2020-11-16 13:30:08

被挖出来了，给个连接https://mathworld.wolfram.com/IntegerRelation.html

mathematica 发表于 2020-11-18 14:22:15

mathematica 发表于 2019-3-11 14:10
\[\frac{\sqrt{767326185466995005}-168768125}{225109847}\]

Clear["Global`*"];
aa=2*Sqrt/99^2*Sum[(4*k)!/(k!)^4*(26390*k+1103)/396^(4*k),{k,0,2}];
1/aa//FullSimplify
N

利用拉马努金的圆周率公式进行逼近,得到结果
\[\frac{2286635172367940241408 \sqrt{2}}{1029347477390786609545}\]

uk702 发表于 2020-11-18 17:45:29

本帖最后由 uk702 于 2020-11-18 18:02 编辑

这个用连分数来求解更简单直接。

N, 10]= -0.02068500658

N - Pi, 100] = 5.682423*(10^-24)

N - Pi, 100] = -4.320*(10^-24)

N - Pi, 100] = -4.9377*(10^-28)

N - Pi, 100] = 3.64987*(10^-49)

补充内容 (2020-11-20 11:13):
(2 + 9 *23^(1/5))/6 - Pi = -2.4e-6
(98 + 34 * 80^(1/18))/45 - Pi = 6.2e-10
(12 + 193*165^(1/4))/224 - Pi =-2.1e-12
这是穷尽所能找到一个各个数字和最小、精度最高的表达式了。

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