20# mathe
:L ，
请mathe 明示
18#的推导方法还有问题。实际上只要能够证明
$lim_{n->infty}b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18=0$
就可以证明$b_n$不存在了。
因为如果存在，我们定义$c_n=b_{n+m}$,那么$c_n$和$b_n$有完全同样的性质，由此得出
$lim_{n->infty}c_n-{2n}/3-{ln(n)}/18=0$
即
$lim_{n->infty}b_{n+m}-{2n}/3-{ln(n)}/18=0$
再由
$lim_{n->infty}b_{n+m}-{2(n+m)}/3-{ln(n+m)}/18=0$
两式相减，得出$0=lim_{n->infty}{2m}/3-{ln(n)}/18+{ln(n+m)}/18={2m}/3$矛盾
22# mathe
这个怎么理解：
因为如果存在，我们定义cn=bn+m,那么cn和bn有完全同样的性质
$c_n$也满足$c_nc_{n-1}=(c_{n-2}+1)^2$,所以也能够推出相同的公式
是的，也许主要的问题是18#的结果有问题，我现在没能重新推导出来。但是换一个正常的数列可能不能推导出这样的结果。
24# mathe
明白了，这个推理过程的确没有问题，只是不知道极限是否真的存在，如果存在是否真的为0
结果应该是$d(n)=2/3+o(1/{ln(n)})$,$b(n)={2n}/3+{ln(n)}/18+o(ln(ln(n)))$,所以上面反例还是无法得到
设$b_n={2n}/3+u_n$,于是$lim_{n->infty}{u_n}/{ln(n)}=1/18$
$e_n=u_n-u_{n-1}=d_n+2/3$
那么
$({2n}/3+2/3+u_{n+1})({2n}/3+u_n)=({2n}/3+1/3+u_{n-1})^2$
$(u_{n+1}+u_n-2u_{n-1}){2n}/3+(2/3+u_{n+1})u_n-(1/3+u_{n-1})^2=0$
其中$u_{n+1}+u_n-2u_{n-1}=e_{n+1}+2e_n=d_{n+1}+2d_n-2={(1-d_n)^2}/{b_n}$
所以得到
$(1-d_n)^2/{b_n}*{2n}/3+2/3u_n+u_{n+1}u_n-1/9-2/3*u_{n-1}-u_{n-1}^2=0$
即$u_{n+1}u_n-u_{n-1}^2=1/9-(1-d_n)^2/{b_n}*{2n}/3-2/3e_n->0$
又因为$u_{n+1}u_n-u_{n-1}^2=e_{n+1}u_n-2e_n u_n+e_n^2$
所以$(e_{n+1}-2e_n)u_n->0$
又因为$e_{n+1}+2e_n=O(1/n),u_n=O(ln(n))$
所以$(e_{n+1}+2e_n)u_n->0$,两式相减得到$e_n u_n->0$
于是我们得到$e_n=o(1/{ln(n)})$或者说$d_n=2/3+o(1/{ln(n)})$
于是，对于任意小正数r和$p_1<1/18<p_2$,对于充分大的n,有
${1/9-r/{ln(n)}}/{{2n}/3+p_2*ln(n)}<=d_n+2d_{n-1}-2={(1-d_{n-1})^2}/{b_{n-1}}<={1/9+r/{ln(n)}}/{{2n}/3+p_1*ln(n)}$
对于充分大的n两边都是关于n的单调减函数，于是它们关于n的求和可以用无穷积分来逼近，也就是
$c_1+\int_a^n{(1/9-r/{ln(x)})dx}/{{2x}/3+p_2*ln(x)}<=\sum_{k=1}^n(d_k+2d_{k-1}-2)<=c_1+\int_a^n{(1/9+r/{ln(x)})dx}/{{2x}/3+p_1*ln(x)}$
即
$c_3+1/3\int_a^n{(1/9-r/{ln(x)})dx}/{{2x}/3+p_2*ln(x)}<=b_n-{2n}/3<=c_4+1/3\int_a^n{(1/9+r/{ln(x)})dx}/{{2x}/3+p_1*ln(x)}$
现在我们证明极限
$lim_{n->infty}{1/3\int_a^n{(1/9+r/{ln(x)})dx}/{{2x}/3+p*ln(x)}-{ln(n)}/18}/{ln(ln(n))}$存在就可以了
首先，我们已经知道如果分母的$ln(ln(n))$改成$ln(n)$时极限存在而且为0（这个也是估计是${ln(n)}/18$的由来
于是由罗比特法则，将上面极限分子分母同时求导得到极限存在而且是$r/2$.
于是我们得到$-r/2<lim_{n->infty}{b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18}/{ln(ln(n))}<r/2$,让r趋向0就得到
$lim_{n->infty}{b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18}/{ln(ln(n))}=0$
挺有意思，发现上面的证明过程再迭代一次就可以解决问题了。
上面过程中有$u_{n+1}u_n-u_{n-1}^2=1/9-(1-d_n)^2/{b_n}*{2n}/3-2/3e_n->0$
而在得到$d_n-2/3=e_n=o(1/{ln(n)})$以后，我们可以估计出上面表达式也为$o(1/{ln(n)})$
于是类似得到$e_n u_n=o(1/{ln(n)})$,所以$e_n=o(1/{ln^2(n)})$
由此我们再次重复上面的证明过程，可以得到
$c_3+1/3\int_a^n{(1/9-r/{ln^2(x)})dx}/{{2x}/3+p_2*ln(x)}<=b_n-{2n}/3<=c_4+1/3\int_a^n{(1/9+r/{ln^2(x)})dx}/{{2x}/3+p_1*ln(x)}$
而这次这个积分同${ln(n)}/18$的差是同$1/{ln(n)}$同阶的无穷小了
于是我们得到
$lim_{n->infty}(b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18)*ln(n)=0$
也就是得出$lim_{n->infty}b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18=0$由22楼的分析得出矛盾。所以我们最终可以得出满足条件的单调增的数列$a_n$不存在
后面证明题目中的极限为1就简单了，可以分析出对于充分大的n以后，必然数列交叉发散，比如奇数项子数列递增，偶数项子数列递减。如果奇数项子列的极限存在（也就是有限），假设为$r_1$,偶数项极限为$r_2$
那么我们可以得出$r_1r_2=r_1^2+1=r_2^2+1$得出矛盾，所以奇数项发散到无穷。再利用$a_{2k+2}a_{2k+1}=a_{2k}+1$得出偶数项极限只能是0.
然后利用wayne在3#的公式:
{a_n}/{a_{n-2}^3} = {1+1/a_{n-2}^2}/{1+a_{n-3}^2}
可以得出对于奇数n,上面的极限为0.即$lim_{n->infty}{a_{2n+1}}/{a_{2n-1}^3}=1$
又由$a_{2n}a_{2n-1}=a_{2n-2}^2+1->1$
于是$lim_{n->infty}{a_{2n+2}}/{a_{2n}^3}=lim_{n->infty}{a_{2n+2}}/{a_{2n}^3}{a_{2n+1}}/{a_{2n-1}^3}=lim_{n->infty}{a_{2n+2}a_{2n+1}}/{a_{2n}^3a_{2n-1}^3}=1$
不过28#的还有问题，是错用了罗比特法则。应该使用两边夹，将两边求差值。
而$e_n=o(1/{ln^2(n)})$可以继续加强到$e_n=o(1/{ln^k(n)})$
而我们应该只能得到$lim_{n->infty}(b_n-{2n}/3-{ln(n)}/18)$存在