求六边形周长的范围
已知：六边形ABCDEF，六个顶点共圆，对边互相平行，AB+BC=2CD，六条边的平方和等于S。求：六边形ABCDEF的周长的取值范围。 ABCD,BEFA四点共圆。想想...... 本帖最后由 056254628 于 2010-10-25 22:25 编辑
以圆心为坐标的原点，以平行AF为x轴建立直角坐标。记点A、B、C、D、E、F的幅角为A、B、C、D、E、F。
因为对边互相平行，所以圆心必在六边形的内部。不妨设AF在x轴的下边，CD在x轴的上边，A在第四象限，C在第一象限。
可设A=-u，C=v，那么D=Pi-v，F=Pi+u。设B=w。设圆的半径为r。
1.根据AB+BC=2CD，可以解出
$w=(v-u)/2 + 2 *ArcCos(\frac{Cosv}{ sin (v / 4 +u / 4)})$
或 $w = (v-u) / 2 - 2 * ArcCos(\frac{Cosv}{ sin (v / 4 +u / 4)})$
还必须满足 -u<w<v.
那么根据对边互相平行得 E=v+w-u+Pi
2.根据余弦定理，得 $S=r^2*(6-(Cos(A - B) + Cos(B - C) + Cos(C - D) + Cos(D - E) + Cos(E - F) + Cos(F - A)))$
解出r。
3.周长 $P=2*r*(sin((B - A) / 2) + sin((C - B) / 2) + sin((D - C) / 2) + sin((E - D) / 2) + sin((F - E) / 2)+ sin((F - A) / 2))$
4.编写程序分别计算u、v取不同的值时P的值，并记录P的最大值和最小值。
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当u、v的增量取作0.01时(弧度)，取S=2008，算得最大值为109.444259541891，最小值为85.0447326635007。
并绘出图形。发现取最大值时，六边形非常接近于正六边形。
取最小值时，六边形非常接近于长为宽2倍的长方形。（有2边接近于0，六边形蜕变成4边形）
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计算正六边形的周长得 $P=\sqrt(6)*\sqrt(S)$
计算长为宽2倍的长方形的周长得 $P=\sqrt(3.6)*\sqrt(S)$
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所以六边形周长的取值范围为 （$\sqrt(3.6)*\sqrt(S)$,$\sqrt(6)*\sqrt(S)$]
但是如何证明呢？不会！ 不会！！！！！！！！
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