论坛 › 难题征解 › 这个N项和有公式吗

liexi20101117 发表于 2010-11-30 23:01:26

这个N项和有公式吗

x+x^x+x^{x^x}+……

liexi20101117 发表于 2010-12-13 22:41:12

1^1+2^2+3^3+...+n^n有求和公式吗？

KeyTo9_Fans 发表于 2010-12-17 11:04:11

$x+x^x+x^(x^x)+......$

当$x<=\sqrt(2)$时，$x^(x^(x^...))$是收敛的，所以前$n$项和有近似公式。

当$x>\sqrt(2)$时，$x^(x^(x^...))$发散，增长速度快得无法想象，估计没有什么公式可以表达如此快速增长的数列。

gxqcn 发表于 2010-12-17 11:19:52

我怎么觉得临界点不应该在 $x=sqrt2$，而应该是 $x=e^-1$ 以及 $x=1$ 两处啊？
这两处有极限值，其它的地方容易发散或出现震荡。

wayne 发表于 2010-12-17 14:00:17

3# KeyTo9_Fans
如果$x^(x^x^...)$收敛于 g(x) ，那么：
g(x) =x^{g(x)}这个只可能是g(x) <=1

liexi20101117 发表于 2010-12-17 21:41:10

x^{x^{x^...}}的收敛值是多少呢。

wayne 发表于 2010-12-18 08:14:26

6# liexi20101117
g(x)=1   (0< x<1)

mathe 发表于 2010-12-18 10:51:51

设$y=x^y$,取对数得$ln(x)={ln(y)}/y$,右边最大值在$y=e$时取到$1/e$,所以只可能$x<=e^{e^-1}$的时候才可能有极限，这个过去记得讨论过的。
至于无限求和，显然不存在

wayne 发表于 2010-12-18 11:00:17

找出来了：
http://bbs.emath.ac.cn/thread-2812-1-1.html

wayne 发表于 2010-12-18 11:26:06

8# mathe
这样设函数好像有一个前提，对于给定的x，存在一个确定的y与之对应。
而事实上这个前提在x>1时是不存在的。。。

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