liexi20101117 发表于 2011-1-21 22:43:01

此数列有公式吗

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）。
    有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
    我的问题是，请问：1，1，1，3，5，9，17……前三项为1，从第四项开始为前三项之和，这数列目前有通项公式了吗？？？

056254628 发表于 2011-1-21 22:59:17

一个完全是自然数的数列，通项公式不但可以用无理数来表示，甚至可以用复数来表示。

056254628 发表于 2011-1-21 23:18:18

像楼主的问题，$a_(n+3)=a_(n+2)+a_(n+1)+a_n$的数列通项，就可以用复数来表示。
设$x^3-x^2-x-1=0$的三个根为$x_1$,$x_2$,$x_3$，其中有两个根就是复数。
那么$a_n=k_1*x_1^n+k_2*x_2^n+k_3*x_3^n$
利用初始值$a_0=1,a_1=1,a_2=1$来解出$k_1,k_2,k_3$的值，就得到通项公式。

mathematica 发表于 2011-1-22 11:33:50

还是好人做到底吧，我用mathematica把求解结果的命令全弄出来了，不过求解结果很复杂，就不列出求解结果了！Clear["Global`*"](*清除所有变量*)
y = Solve(*求解方程的三个根*)
x1 = x /. y[](*第一个根*)
x2 = x /. y[](*第二个根*)
x3 = x /. y[](*第三个根*)
eqn = k1*x1^n + k2*x2^n + k3*x3^n(*定义方程,不要使用延迟定义:=*)
Solve[{eqn == 1, eqn == 1, eqn == 1}, {k1, k2, k3}](*求解系数*)

mathematica 发表于 2011-1-22 11:36:54

不知道你要这个递归通项公式有什么用，其实我觉得只有理论价值，根本就没什么用。

liexi20101117 发表于 2011-1-23 02:00:04

我只是想找到求通项公式的方法罢了。结果对我没多大用的，只是知道了还可以求助于数学软件呀（我忘记这高科技了），原来公式中可以有复数呀，不可思议呀，可能是我太菜了吧
谢谢楼上的各位的讲解与帮助。

liexi20101117 发表于 2011-1-23 20:42:10

我发现3楼有个错误吧，你怎么知道，a_0=1

gxqcn 发表于 2011-1-24 07:42:16

并没错。
数列可以定义首项为第0项，也可以定义为第1项的。

liexi20101117 发表于 2011-1-24 21:36:43

呀，看样子我连基本的常识与概念都还没弄懂呀。
看他那3楼的公式，斐波那契数列的第0项，第1项，第2项也是1，1，1呀，他怎么知道那公式是我那数列的呢。
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