论坛 › 难题征解 › 求和题目一道

northwolves 发表于 2011-1-23 11:08:36

求和题目一道

$a(n)=1/(k*n^2-1)$,$k>1$,计算$a(n)$前n项的和

wayne 发表于 2011-1-23 15:23:13

1# northwolves

无穷项和：
1/2-\frac{\pi\cot (\frac{\pi }{\sqrt{k}})}{2 \sqrt{k}}

282842712474 发表于 2011-1-23 20:15:19

积分一次得
$\frac{1}{2\sqrt{k}}ln(\frac{\sqrt{k}*n-1}{\sqrt{k}*n+1})+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{2\sqrt{k}}ln(\frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1})$

282842712474 发表于 2011-1-23 20:24:00

取多一级近似得
$\frac{1}{2\sqrt{k}}ln(\frac{\sqrt{k}*n-1}{\sqrt{k}*n+1})-\frac{1}{2\sqrt{k}}ln(\frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1})-\frac{1}{2(k*n^2-1)}+ \frac{3}{2(k-1)}$

northwolves 发表于 2011-1-23 23:45:32

1# northwolves

无穷项和：
1/2-\frac{\pi\cot (\frac{\pi }{\sqrt{k}})}{2 \sqrt{k}}
wayne 发表于 2011-1-23 15:23 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
多谢。不过结果貌似有点问题，如k=2时，a(1)=1,s 显然是大于1的

wayne 发表于 2011-1-24 00:22:29

5# northwolves
是大于1 阿，没错阿，:Q:

northwolves 发表于 2011-1-24 00:30:20

cot是余切吧?
http://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent#Reciprocal_functions

wayne 发表于 2011-1-24 00:56:53

7# northwolves
恩，是的

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