一道不定方程问题
求所有的素数P,使得P^2-P+1是完全立方数， 我已经知道是P=19是一个其他的还未发现我估计这个很简单但是很难严格说明 限定素数还是比较好办的，但是不限定就难了，就变成椭圆曲线问题了 嗯已经解决 给个过程,设$x^3=P^2-P+1$
$(x-1)(x^2+x+1)=P(P-1)$
由于$x^2+x+1>x-1$,所以素数P不可能是$x-1$的因子,于是$P|x^2+x+1$,
设$x^2+x+1=yP$,于是$P-1=y(x-1),P=y(x-1)+1$
消去P,得到$x^2+x+1=y^2(x-1)+y$即$x^2-(y^2-1)x+y^2-y+1=0$
根据二次方程求根公式$(y^2-1)^2-4(y^2-y+1)=y^4-6y^2+4y-3=(y^2-3)^2+4y-12$是完全平方数
于是,如果$y>3$,那么$(y^2-3)^2+4y-12>=(y^2-2)^2$,马上得出无解.
而$y=3$得出x=P=1或x=7,P=19,
$y=1,2$均无解,所以P=19是唯一解 嗯 差不多的方法 谢了管理员 我是利用判别式夹在俩个平方数之间 其中可以等于左边那个 推广一下
\((8p-4)^2=(4x)^3-48\)
相当于\(Y^2=X^3-48\)的整点。https://oeis.org/A081120/b081120.txt 说有四个。
不知道是不是带符号的，那么这四个是
\(X=4\),\(Y=4\)
\(X=4\),\(Y=-4\)
\(X=28\),\(Y=148\)
\(X=28\),\(Y=-148\)
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