论坛 › 难题征解 › 方程组x^3+y^3+z^3=x+y+z且x^2+y^2+z^2=xyz是否存在整数解

mathematica 发表于 2011-2-27 17:12:28

Solve[{a - 3*c == a*(c - b), a^2 == c + 2*b}, {b, c}]
得到{{b -> -((a - 3 a^2 - a^3)/(3 (2 + a))),
c -> -((-2 a - a^3)/(3 (2 + a)))}}

mathematica 发表于 2011-2-27 17:14:25

我很奇怪,你什么时候弄好的?怎么那么快?发完帖子,突然发现你已经证明好了!

mathematica 发表于 2011-2-27 17:15:17

换个游戏吧
找出
x^3+y^3+z^3=x+y+z
x^2+y^2+z^2=3*xyz
的所有整数解!

mathematica 发表于 2011-2-27 17:30:34

我尝试用数论的办法来证明!
如果方程组
x^3+y^3+z^3=x+y+z
x^2+y^2+z^2=xyz
有整数解,那么
x,y,z都是3的整数倍

mathematica 发表于 2011-2-27 17:31:53

我尝试用数论的办法来证明!
如果方程组
x^3+y^3+z^3=x+y+z
x^2+y^2+z^2=xyz
有整数解,那么
x,y,z都是11的整数倍

mathematica 发表于 2011-2-27 17:34:20

从而也就必然是33的整数倍!

mathematica 发表于 2011-2-27 17:59:49

如果方程组
x^3+y^3+z^3=x+y+z
x^2+y^2+z^2=xyz
有整数解,那么
x,y,z都是33的整数倍,
谁能根据这个,给出一个数论意义上的证明吗?

manthanein 发表于 2017-2-13 19:21:30

https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_number

manthanein 发表于 2017-2-13 19:23:58

http://www.ams.org/journals/proc/1966-017-02/S0002-9939-1966-0188151-0/S0002-9939-1966-0188151-0.pdf

manthanein 发表于 2017-2-13 19:26:59

http://math.stackexchange.com/questions/557552/problem-on-solving-equations-with-three-variables/557573#557573
这个证明比楼主看起来更简单

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