对于$n-=2,6(mod 8)$,那么必然又$n-1 -=1(mod 4)$,文中是如此构造的，由于$(4n,n-1)=1$,根据Dirichlet定理，存在素数p使得$p -= n-1(mod 4n)$,设$p=4vn+n-1=(4v+1)n-1$，容易看出$p -= n-1 -= 1(mod 4)$
于是根据二次互反律$({4v+1}/p)=(p/{4v+1})=({-1}/{4v+1})=1$,于是我们知道$4v+1$是p的平方剩余。同样由于-1是p的平方剩余，于是存在整数b,使得$b^2 -= -(4v+1)(mod p)$,于是可以设$a={b^2+4v+1}/p$,现在我们构造矩阵
$[(a,b,1),(b,p,0),(1,0,n)]$,于是其行列式为$n(ap-b^2)-p=n(4v+1)-p=1$.而由于这个矩阵对应的二次型将向量$[(0),(0),(1)]$映射到n,所以根据引论0.4,我们证明了当$n-=2,6(mod 8)$时,n可以表示成三个整数的平方和.
我们先证明:
i)对于$x-=3(mod 8),y={x-1}/2$,于是雅克比符号$(y/x)=1$
ii)对于$x-=5(mod 8),y={x-1}/2$,于是雅克比符号$(y/x)=-1$
由于$x-=3(mod 8)$,故$y=1(mod 4)$,所以根据二次反转律,$(y/x)=(x/y)=(1/y)=1$.
而对于$x-=5(mod 8)$,故$y=2(mod 4)$,记$z=y/2=1(mod 2)$,所以根据二次反转律,$(y/x)=(2/x)(z/x)=(2/x)(x/z)=(2/x)=-1$
现在对于$n-=3(mod 8)$,容易证明$(4n,{n-1}/2)=1$,于是根据Dirichlet定理，存在素数$p=4n u+{n-1}/2$
容易看出$p-=1(mod 4)$,而且$2p=(8u+1)n-1$,记$h=8u+1-=1(mod 8)$,
所以$2p=nh-1$,或$p={h-1}/2n+{n-1}/2$
现在我们查看$(n/p)=(p/n)=({{n-1}/2}/n)=1$(这里因为$n-=3(mod 8)$,根据i)得)
于是n是p的平方剩余，由于$p-=1(mod 4)$,所以存在奇数b使得$b^2n=-1(mod p)$
于是$2p|2p+1+nb^2$,而由于$n|2p+1$,我们得到$2np|2p+1+nb^2$,我们设$a={2p+1+nb^2}/{2np}$,现在构造矩阵
$[(a,b,1),(b,2p,0),(1,0,n)]$，其行列式为$n(2ap-b^2)-2p=1$.于是我们解决了$n-=3(mod 8)$时候得问题
对于$n-=5(mod 8)$,由于$(4n,{3n-1}/2)=1$,根据Dirichlet定理，存在素数$p=4un+{3n-1}/2-=3(mod 4)$
记$m={n-1}/2$,于是$p=(4u+1)n+m$
于是$2p=(8u+3)n-1$,而且$(n/p)=(p/n)=(m/n)=-1$(根据楼上ii)
由于$p-=3(mod 4)$,所以-1不是p得平方剩余，所以-n是p的平方剩余，我们假设$c^2 -= -n(mod p)$
于是取c的数论倒数b,有$-nb^2 -= 1(mod p)$,我们这里总可以假设b是奇数（不然用p-b代替b)
于是可以得出$2np|2p+1+nb^2$,设$a={2p+1+nb^2}/{2np}$,同样构造楼上的矩阵解决问题。
iii)对于$x-=1(mod 8),y={x-1}/2$,那么雅克比符号$(y/x)=1$
证明，假设x-1中2的次数为h,设$x=z*2^h+1,h>=3$,于是$y=z*2^{h-1}$
于是$(y/x)=(2/x)^{h-1}(z/x)=(2/x)^{h-1}(x/z)=(2/x)^{h-1}$
由于$(2/x)=(-1)^{(x^2-1)/8}=1$,所以$(y/x)=1$
于是对于$n-=1(mod 8)$,我们同样由于$(4n,{3n-1}/2)=1$,得出存在素数$p=4un+{3n-1}/2 -=1(mod 4)$
于是$2p=(8u+3)n-1$,同样由此得到-n是p的平方剩余，存在奇数b使得$-nb^2 -=1(mod p)$,取
$a={2p+1+nb^2}/{2np}$构造类似矩阵解决$n-=1(mod 8)$的问题。
我们现在也可以查看一下为什么对于$n-=7(mod 8)$,上面的构造方案不行。
记$m={n-1}/2 -=3(mod 4)$,于是$(m/n)=-(n/m)=-1$
假设我们类似构造素数p使得$2p=n*h-1$,或者说$p=n*{h-1}/2+{n-1}/2$
于是$({-n}/p)=({-1}/p)(n/p)$
由于$n-=3(mod 4)$,所以$(n/p)=({-1}/p)(p/n)$,也就是p模4为3时颠倒需要改号，不然不需要。
所以我们得到$({-n}/p)=(p/n)=(m/n)=-1$,也就是-n不可能是p的平方剩余，所以我们无法构造b使得$-nb^2 -=1 (mod p)$.
从第二页起我就看不懂了，呵呵
4# mathe
mathe写的好像是round，
应该是floor吧
高斯函数一般是指floor
29# mathe
:loveliness: