282842712474 发表于 2011-3-25 12:48:45

多项式倒数的积分

$int\frac{1}{a_0+a_1 x+... a_n x^n}dx$

mathe 发表于 2011-3-25 13:25:34

因子分解即可，理论上$a_0+a_1x+...+a_nx^n=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_k)$
于是存在$b_1,b_2,...,b_n$使得
$1/{a_0+a_1x+...+a_nx^n}={b_1}/{x-x_1}+{b_2}/{x-x_2}+...+{b_n}/{x-x_n}$
而为了计算其中$b_t$,我们可以两边同时乘上$(x-x_t)$,然后将让$x->x_t$取极限得到
$b_t=lim_{x->x_t}{x-x_t}/{a_0+a_1x+...+a_nx^n}=1/{a_1+2*a_2*x_t+...+n*a_n*x_t^{n-1}}$
然后积分就简单了，因为其中每项${b_t}/{x-x_t}$的积分为$b_tln(x-x_t)$

282842712474 发表于 2011-3-25 22:19:19

mathe好办法！验证了我归纳推理得到的$b_t$的表达式。

能不能再问一下，对于n次方程$\sum_{i=0}^n (a_i x^i)=0$
1、要是n个根全为实数，那么各系数有什么规律？
2、要是n个根全为纯虚数，那么各系数有什么规律？
3、要是对于所有的$x_i$，都有$a_n x_i^n$为纯虚数，那么各系数满足哪些条件？

mathematica 发表于 2011-4-4 08:17:50

没意思,这个问题其实被研究烂了,
如果是我的话,我就使用数值积分,
使用100位有效数字积分,一定可以得到我想要的满意的结果!

其实这个问题只有理论意义,并没有什么实际价值,因为多项式求根的解析解多数情况下没有多大意义!

wayne 发表于 2011-4-4 09:43:26

3# 282842712474
可以参考一下Sturm's theorem

282842712474 发表于 2011-4-4 12:07:12

我的目的在于理论分析，是分析动力系统的稳定性时候推导出来的....
大家对我3#的问题怎么看？

zeroieme 发表于 2011-4-4 14:25:41

n次方程
超4次非特殊结构就要用椭圆函数了。

282842712474 发表于 2011-7-21 20:54:26

对了，要是有重根怎么办

mathe 发表于 2011-7-22 07:12:34

${a_0+a_1*x+....+a_{t-1}*x^{t-1}}/{(x-u)^t}={c_1}/{x-u}+{c_2}/{(x-u)^2}+...+{c_t}/{(x-u)^t}$
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