mathematica 发表于 2011-4-14 20:56:39

椭圆内面积最大的三角形(有人知道吗)?

假设椭圆的方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
a与b都大于零,
三角形的三个点都在椭圆上,
问什么时候这个三角形的面积最大?

我不知道答案,只是突然想到这个问题,

不知道有谁会!

请给出证明
先来一个简单的
a=4,b=3

mathematica 发表于 2011-4-14 21:19:41

我觉得这个三角形应该有一边是平行于坐标轴的,但是我不会证明,郁闷!!

mathematica 发表于 2011-4-14 21:45:18

求一椭圆内接三角形的最大面积.
http://zhidao.baidu.com/question/66790211.html
椭圆内接三角形最大面积--高中数学
http://iask.sina.com.cn/b/15088060.html

zeroieme 发表于 2011-4-14 22:16:24

换成参数方程
x=a Cos(t)
y=b Sin(t)
r=sqrt( a^2 Cos(t)^2+b^2 Sin(t)^2 )
三个椭圆上的点三个即t1、t2、t3
S=1/2( r1 r2 Sin(t2-t1)+r2 r3 Sin(t3-t2)+r3 r1 Sin(t1-t3) )
求出最大值

wayne 发表于 2011-4-15 00:27:46

3# mathematica

不错，这两个方法都很好

hujunhua 发表于 2011-4-15 00:50:17

我觉得这个三角形应该有一边是平行于坐标轴的,但是我不会证明,郁闷!!
mathematica 发表于 2011-4-14 21:19 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

最大三角形应该有无穷多，当将椭圆以平行投影变换成圆时，这些三角形都被投影成圆的内接正三角形。

sir_chen 发表于 2011-4-15 09:11:32

可以很容易的证明, 当所有的点都按照某一坐标轴伸缩k倍时, 直角坐标系中的所有封闭曲线的面积也伸缩k倍.
现在将所有点的x坐标变为原来的1/a, y坐标变为原来的1/b, 那么所有的图形的面积就变成了原来的1/{ab}, 而椭圆变成了单位圆, 三角形还是三角形. 此时问题就转化成了求单位圆中面积最大的三角形. 显然, 任意一个圆的内接正三角形都是问题的解. 正三角形的面积为1/2(sqrt3)^2sin pi/3={3sqrt3}/4
所以椭圆内接三角形的最大面积是{3sqrt3ab}/4, 而且这样的三角形是无数多个, 任意一个满足条件的三角形的三顶点坐标为
{(a cos theta, b sin theta),(a cos (theta+{2pi}/3), b sin (theta+{2pi}/3)),(a cos (theta-{2pi}/3), b sin (theta-{2pi}/3))} 其中0<=theta<2pi

sunw1 发表于 2011-4-20 18:47:11

觉得楼上sir-chen的想法很有新意。是空间变换的一种手段吧。

BeerRabbit 发表于 2011-7-29 09:59:19



最大三角形应该有无穷多，当将椭圆以平行投影变换成圆时，这些三角形都被投影成圆的内接正三角形。
hujunhua 发表于 2011-4-15 00:50 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif


这个解法应该是最简洁有效的。

zeroieme 发表于 2011-7-29 11:28:10



最大三角形应该有无穷多，当将椭圆以平行投影变换成圆时，这些三角形都被投影成圆的内接正三角形。
hujunhua 发表于 2011-4-15 00:50 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

什么时候能保证平行投影变换有效？计算行星轨道时投影变换不行啊。
页: [1]
查看完整版本: 椭圆内面积最大的三角形(有人知道吗)?