论坛 › 难题征解 › 能找到这样的多项式使得如下等式成立吗？

wsc810 发表于 2011-6-19 09:33:31

能找到这样的多项式使得如下等式成立吗？

(6k+7)*f(k) - (5k+3)*g(k)=1
f g是关于k的多项式

G-Spider 发表于 2011-6-19 10:10:04

如果是使k有整数解的话，至少存在：
f(k)=5k-2
g(k)=6k

wsc810 发表于 2011-6-19 10:50:53

我的意思是对一切k等式都成立，而你的式子仅对k=3成立，显而易见，f g是同次式，已知一次式是不成立的，但二次式，三次式呢？我想到一个方法，就是太麻烦

zgg___ 发表于 2011-6-20 14:09:36

把6k+7和-(5k+3)当作数进行辗转相除吧。f和g不一定是整系数的。

hujunhua 发表于 2011-6-22 10:57:43

我的意思是对一切k等式都成立，而你的式子仅对k=3成立，显而易见，f g是同次式，已知一次式是不成立的，但二次式，三次式呢？我想到一个方法，就是太麻烦
wsc810 发表于 2011-6-19 10:50 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
这么说来你是要求整系数多项式。可以简单证明无解。若有解，则对于一切整数k，Gcd(6k+7, 5k+3)=1, 这不可能。比如，k=13时，……

若只要求有理系数多项式，一次式就有解。

hujunhua 发表于 2011-6-22 11:57:25

两个整系数一次式ax+b和 cx+d对于一切整数x互质的充要条件是|ad-bc|=1.因此楼主的题目中的5k+3若换成5k+6的话，就有解了，并且有任意次数的解。

hujunhua 发表于 2011-6-22 16:11:37

如何证明方程有任意次数的解呢？了解方程解的结构就简单了，它与线性微分方程的解结构是完全类似的。
对应的齐次方程
(6x+7)f(x)-(5x+6)g(x)=0
的通解是f(x)=(5x+6)h(x), g(x)=(6x+7)h(x), 其中h(x)为任意整系数多项式。
取原方程的一个常数解f(x)=-5, g(x)=-6为特解，则方程的通解为
f(x)=(5x+6)h(x)-5, g(x)=(6x+7)h(x)-6

wayne 发表于 2011-6-22 16:38:26

f(x)=(5x+3)h(x)+5/17,
g(x)=(6x+7)h(x)+6/17

wsc810 发表于 2011-6-23 13:25:09

谢谢以上各位的热心解答，我提出一个问题，怎样找到一般的二次式a*x^2+b*x+c与一次式m*x+n对一切x都互质的条件呢？将该问题推广到更一般的情形又如何

wayne 发表于 2011-6-23 18:20:27

8# wayne
:*-^
大大竟然不怪我 窃取了革命的果实

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