数学星空 发表于 2011-8-24 21:33:19

一个包络线问题的求解

求出长为L的刚性直棒,始终保持两端分别紧贴两面(若两面墙形成0< alpha<pi/2 )墙时的包络线?

注:若两面墙垂直即alpha=pi/2,则有经典的结果: x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3)

数学星空 发表于 2011-8-24 21:54:34

通过计算: (其中theta为直棒与水平方向的夹角)
可以得到参数方程(x*sin(alpha)-y*cos(alpha))/sin(theta+alpha)+y/sin(theta)=L ........(1)
分别计算x和y的函数对参数theta求导得....
结果很复杂,似乎很难得到x,y的函数关系??
不知(1)是否正确?如何求出包络线?

数学星空 发表于 2011-8-24 22:33:33

根据2楼(1),分别计算x和y对参数theta求导为0得到:
x=L*(cos(theta)*sin(theta+alpha )^2-cos(theta+alpha )*sin(theta)^2*cos(alpha ))/sin(alpha )^2   .....(2)
y=-L*cos(theta+alpha)*sin(theta)^2/sin(alpha) .......(3)
现在剩下的问题是如何由(2),(3)消去theta得到x,y的函数表达式?

数学星空 发表于 2011-8-24 23:45:37

本帖最后由 数学星空 于 2011-8-26 21:12 编辑

经过复杂的计算得到:
(y^6+3*x^4*y^2-y^2*L^4-11*y^4*L^2-2*x^4*L^2+41*x^2*y^2*L^2+x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4)*sin(alpha)^4-2*L^2*x*y*cos(alpha)*(-9*x^2+L^2+18*y^2)*sin(alpha)^3-L^2*(-8*y^4-2*L^2*x^2+L^4+x^4+20*x^2*y^2+12*L^2*y^2)*sin(alpha)^2-16*x*y*cos(alpha)*sin(alpha)*L^4+16*y^2*L^4=0 ......(5)

注:若令alpha=pi/2 化简(5)得到:y^6+3*x^4*y^2+3*y^2*L^4-3*y^4*L^2-3*x^4*L^2+21*x^2*y^2*L^2+3*x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4-L^6=0 ......(6)

hujunhua 发表于 2011-8-25 11:59:35

RE: 几何方法

我好几次遇到需要这条络曲线，都是直接用几何画板把它画出来。有时想过求解其方程，却懒得动手。今天试了一下用过的几何方法，所得参数方程如下：
x/d=cos(theta)-sin(theta)sin(alpha-theta)cos(alpha-theta)
y/d=sin(theta)cos^2(alpha-theta)
式中d=Lcsc(alpha)

兔妹妹兔八哥 发表于 2011-8-25 15:30:25

提问：什么是包络？

mathe 发表于 2011-8-25 17:15:51

曲线的所有切线就构成了其包络线

兔妹妹兔八哥 发表于 2011-8-25 18:46:54

谢谢

数学星空 发表于 2011-8-26 21:27:03

本帖最后由 数学星空 于 2011-8-26 21:30 编辑

我们现在来证明x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3) ........(1)
等价于
y^6+3*x^4*y^2+3*y^2*L^4-3*y^4*L^2-3*x^4*L^2+21*x^2*y^2*L^2+3*x^2*L^4+x^6+3*x^2*y^4-L^6=0.....(6)
对于(1)式
(x^(2/3)+y^(2/3))^3=L^2
展开: x^2+y^2+3*x^(2/3)*y^(2/3)*(x^(2/3)+y^(2/3))=L^2
移项:(3*x^(2/3)*y^(2/3)*L^(2/3))^3=(L^2-x^2-y^2)^3    注: 此式的变形用到了(1)
展开:27*x^2*y^2*L^2=L^6-x^6-y^6+3*L^2*(x^4+y^4)-3*L^4*(x^2+y^2)+6*x^2*y^2*L^2-3*x^2*y^2*(x^2+y^2)
移项整理:即得(6)式

倪举鹏 发表于 2014-2-27 21:34:16

谁算算椭圆在X轴上滚动的包络线
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