简单堆叠的复杂推算

zpz77777 发表于 2011-10-12 08:48:59

这是初中一年级的拓展练习题。出自《天府数学》2011年第14期，老朽
借助于《mathad 15 M010》做完之后，不由慨叹，“初一数学且如此，无怪
后生之可畏也”！

shshsh_0510 发表于 2011-10-12 14:01:07

$k(n)=\sum_{i=1..n}{\sum_{j=1..i}{\sum_{k=1..j}{1}}}$
所以，带求和号的不能给分

ysr 发表于 2011-10-12 15:15:34

zeroieme 发表于 2011-10-12 17:08:00

初一?我小3就做这种题了

BeerRabbit 发表于 2011-10-12 18:27:33

前N层总个数：C（N+2，3），也即从N+2个中选3个的组合数。

zpz77777 发表于 2011-10-15 06:05:41

6# BeerRabbit
孩子的数学课进度目前是第一章《有理数》，（初一第一学月），而排列组合初步知识却在第二章《有理整式》中，唉！我们这些头脑僵化的“木乃伊”，赶不上飞跃的现代教育了。

xbtianlang 发表于 2011-10-15 09:31:26

数学没有捷径，循序渐进是必然的。
$S_n$是三角数，$K_n$是三角垛。相邻的2个三角数合成一个四方数
比如 $S_1+S_2=1+3=4,S_3+S_4=6+10=16$
所以 $K_10=2^2+4^2+6^2+8^2+10^2=4+16+36+64+100=20+100+100=220$
这样才是初一的学生能接受的方法

xbtianlang 发表于 2011-10-15 09:45:47

本帖最后由 xbtianlang 于 2011-10-15 10:15 编辑

$S_n$是正面可见，不是周围可见吧，这是简单的等差序列。
如果是周围可见（$S_n$应该用其他的字母代换），只有上前后左右可见，三角数×5即可。

zeroieme 发表于 2011-10-16 13:11:16

总结出的递归式如何转化回普通公式是要一定代数技巧。
但递归是种思路，将复杂问题规化成简单问题。应当从小掌握。如何切入问题才是素质教育，而把对数学的印象固化成公式记忆是失败的。

xbtianlang 发表于 2011-10-17 09:56:53

11# math_humanbeing
这就是三角数的方法：
首先第k层1+2+3+…+k=k*(k+1)/2=C(k+1,2)
然后n层垛总数1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)=C(2,2)+C(3,2)+…+C(n+1,2)
最后利用组合公式，上式=C(n+2,3)。

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