尺规作图（顶角及中线）
１．已知一个三角形的顶角为alpha ，且顶角两边的中线长为x,y,请用尺规作图作出此三角形？ 设此三角形三边长分别为a,b,c
我们可以根据余弦公式列出方程：
c^2+4*b^2-4*b*c*cos(alpha)=4*x^2........(1)
b^2+4*c^2-4*b*c*cos(alpha)=4*y^2 ....... (2)
b^2+c^2-2*b*c*cos(alpha)=a^2 ........(3) 根据方程(1),(2),(3),我们可以消元得到:
(144*cos(alpha)^2-225)*b^4-16*(2*x-y)^2*(2*x+y)^2*b^2+480*x^2+192*cos(alpha)^2*y^2-192*cos(alpha)^2*x^2-120*y^2=0
(144*cos(alpha)^2-225)*c^4-16*(x-2*y)^2*(x+2*y)^2*c^2+480*y^2+192*cos(alpha)^2*x^2-120*x^2-192*cos(alpha)^2*y^2=0
(144*cos(alpha)^2-225)*a^4-(72*(y^2+x^2))*(4*cos(alpha)^2-5)*a^2+128*cos(alpha)^2*x^4-144*x^4+128*cos(alpha)^2*y^4-144*y^4+320*cos(alpha)^2*x^2*y^2-288*x^2*y^2=0
由于以上方程均可化为二次方程求解,易知a,b,c均可由尺规作图得到
1、先作出一条中线BD，长为x.
2、以BD为弦，作所含圆周角等于\alpha的圆弧BAD，A还没确定，但就在这条圆弧上。
3、顶点C与A关于中点D对称，所以顶点C的轨迹是圆弧BAD关于D的镜像，作出镜像弧。（与BAD合成一个S形）
4、以BD的三等分点E（三角形ABC的重心）为中心，以2y/3长为半径作圆弧，交上述镜像弧于C点。
5、连接并延长CD交弧BAD于点A。
6、连结AB、BC，即得三角形ABC。
讨论：1、当x/y≠1/2或者2时，第4步所作圆弧与镜像弧可能会有唯一交点、没有交点、有不同于点D或者B'的两交点。分别对应于唯一解、无解和双解。
2、当x/y=1/2或者2时，会交于点D或者B'。若只此一个交点，则无解，若有两个交点，则有一解。 顶点C的轨迹是圆弧BAD关于D的镜像.
晕头了，说什么“关于点的镜像”，应该是关于点D的反演像。 讨论：1、当x/y≠1/2或者2时，第4步所作圆弧与镜像弧可能会有唯一交点、没有交点、有不同于点D或者B'的两交点。
分别对应于唯一解、无解和双解。
2、当x/y=1/2或者2时，会交于点D或者B'。若只此一个交点，则无解，若有两个交点，则有一解
不知是如何得到的？？
不过通知观察3＃的方程可以看到有(2*x-y) (b^2项系数）及(x-2*y)(c^2项系数)出现．
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