五球相切问题

数学星空 发表于 2011-11-6 11:23:08

如果半径分别为r1,r2,r3,r4四个球两两外切，若第五个球与已知四个球均相切.
1.求出第五个球存在的条件?
2.若存在,求第五个球半径r，并用代数方程表示出来?

数学星空 发表于 2011-11-6 19:30:34

我们可以根据平面情形:三个已知圆两两外切,求第四圆与已知三圆相切的半径作类比?
具体见http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=1519&highlight=

数学星空 发表于 2011-11-6 19:44:05

设已知四个已知球的球心分别为A,B,C,D,半径分别为r1,r2,r3,r4
待求第五个球的球心为P,其半径为r
对于第五个球均外切于已知四球的情形:
288*(V_(P-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r1)^2,(r+r2)^2,(r+r3)^2),(1,(r+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|

288*(V_(P-ABD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r1)^2,(r+r2)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r4)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r1+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|

288*(V_(P-BCD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r3)^2,(r+r2)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r3)^2,0,(r3+r2)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r2)^2,(r3+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r3+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|

288*(V_(P-ACD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r+r3)^2,(r+r1)^2,(r+r4)^2),(1,(r+r3)^2,0,(r3+r1)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r1)^2,(r3+r1)^2,0,(r1+r4)^2),(1,(r+r4)^2,(r3+r4)^2,(r1+r4)^2,0)|

288*(V_(D-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r4+r1)^2,(r4+r2)^2,(r4+r3)^2),(1,(r4+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r4+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|

V_(P-ABC)+V_(P-ABC)+V_(P-ABD)+V_(P-BCD)=V_(D-ABC)
根据以上方程可以确定r的代数方程,显然,展开后很庞大!

数学星空 发表于 2011-11-6 20:20:39

对于第五个球均内切于已知四球的情形:
288*(V_(P-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r1)^2,(r-r2)^2,(r-r3)^2),(1,(r-r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r-r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r-r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|

288*(V_(P-ABD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r1)^2,(r-r2)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r4)^2),(1,(r-r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r1+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|

288*(V_(P-BCD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r3)^2,(r-r2)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r3)^2,0,(r3+r2)^2,(r3+r4)^2),(1,(r-r2)^2,(r3+r2)^2,0,(r2+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r3+r4)^2,(r2+r4)^2,0)|

288*(V_(P-ACD))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r-r3)^2,(r-r1)^2,(r-r4)^2),(1,(r-r3)^2,0,(r3+r1)^2,(r3+r4)^2),(1,(r+r1)^2,(r3+r1)^2,0,(r1+r4)^2),(1,(r-r4)^2,(r3+r4)^2,(r1+r4)^2,0)|

288*(V_(D-ABC))^2=|(0,1,1,1,1),(1,0,(r4+r1)^2,(r4+r2)^2,(r4+r3)^2),(1,(r4+r1)^2,0,(r1+r2)^2,(r1+r3)^2),(1,(r+r2)^2,(r1+r2)^2,0,(r2+r3)^2),(1,(r4+r3)^2,(r1+r3)^2,(r2+r3)^2,0)|

V_(P-ABC)+V_(P-ABC)+V_(P-ABD)+V_(P-BCD)=V_(D-ABC)
根据以上方程可以确定r的代数方程,显然,展开后也很庞大!

gxqcn 发表于 2011-11-7 09:02:14

请参考：
1、http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=2332&page=1&fromuid=8#pid28097
2、Descartes Circle Theorem

可得到如下简洁的计算公式：
若半径分别为 r_1、r_2、r_3、r_4 、r_5的五个球两两相切，则有：
1/r_1^2+1/r_2^2+1/r_3^2+1/r_4^2+1/r_5^2=1/3(1/r_1+1/r_2+1/r_3+1/r_4+1/r_5)^2
其中，若两球相外切，则两球半径取同号；若两球相内切，两球半径取异号。

数学星空 发表于 2011-11-7 20:47:48

不知以上公式是如何推导而来的,我想一定用到了球的反演性质....

creasson 发表于 2013-8-2 19:37:13

把过程打出来后，感觉好没意思，以后不做题了

creasson 发表于 2013-8-2 23:55:34

本帖最后由 creasson 于 2013-8-3 01:24 编辑

creasson 发表于 2013-8-3 01:28:01

依稀记得好像是柯西型行列式

数学星空 发表于 2013-8-3 09:55:29

k的代换很神奇！楼上的对于仿射几何了解很透彻，楼上的能否提供相关的资料，便于兄弟们开阔眼界！
我看了楼上的解答很自然，轻松，得到的答案也很简洁。但是，最终也是求解仿射系数（类似于消元），得到答案。看来，如何利用合理的特征式简化表达式也是一个难题，
因为楼上解决的几个问题，最终得到的表达式化简也并非易事，似乎也很难得到最终答案。当然表达式直攻主题，且对称，但消元也很难啊！
我赞同楼上的观点，传统的几何将走到尽头，射影几何将深刻的改变目前机械化数学算法。
再问一个问题：射影几何方法能否解决下面的问题
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4289

页: [1] 2

数学研发论坛's Archiver

五球相切问题