完全四点形的边长约束

hujunhua 发表于 2011-11-9 19:24:31

平面上的4点及两两连线（6条）构成的图形称为完全四点形。6段连线称为完全四点形的边。

考虑一下确定一个完全四点形（的形状）一般情况下需要给定几条边长。4条显然不足，即使围成一个四边形也不行。给定5条边长时，图形表现为一个普通四边形带一条对角线（如图，边13未定，其对边24可视为对角线），它可以绕其对角线翻转，因此第6条边长13恰好可有两个值（当23+34=24或者12+14=24时13有唯一值，但我们不讨论特殊情况），即图中的13和13'。

这表明完全四点形的六条边长不能仅在三角不等式的约束下自由任取，还存在一个约束方程

f(u, v, w, x, y, z)=0，（u, v, w, x, y, z 为完全四点形的边长）

能解出这个方程吗？

hujunhua 发表于 2011-11-9 19:31:29

悬赏咋搞啊？是郭老板提供金币，还是从扣偶嘀？

如果这是原创问题（:Q:），大家觉得悬多少金币比较合适？

hujunhua 发表于 2011-11-9 19:45:30

射影几何中定义的完全四点形包括无3点共线的规定，边也都是直线。我们这里的定义略有区别，大同小异，无关宏旨。

gxqcn 发表于 2011-11-9 20:13:16

悬赏咋搞啊？是郭老板提供金币，还是从扣偶嘀？

如果这是原创问题（:Q:），大家觉得悬多少金币比较合适？
hujunhua 发表于 2011-11-9 19:31 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

如要发悬赏帖，应在发主题时不要选择“发新话题”，而是要选下拉菜单中的“发布悬赏”才行。
赏金估计是从发帖人的积分中扣除，然后转到最佳答案提供者。

悬赏帖之前我曾发过，版面效果不是很理想，所以不大推荐使用。

既然该贴已发，也可通过“评分”的模式奖励给回帖者，且效果很不错。

zeroieme 发表于 2011-11-9 21:18:48

面积？
四点形ABCD
SABC+SCDA=SBCD+SDAB

数学星空 发表于 2011-11-9 21:39:05

本帖最后由数学星空于 2011-11-9 22:01 编辑

可以分二种构型考虑:
(1)当四条边ABCD构成凸四边形时，根据对称性，又分为两种类型
I. 当六条边中只有一条对角线长度未知时,其余五边已知.
II.当六条边中只有一条边长长度未知时,其余五边已知.
(2)当四条边ABCD构成凹四边形时，根据对称性，又分为两种类型
III.当六条边中只有一条内对角线(即含在凹四边形内)长度未知时,其余五边已知.
V.当六条边中只有一条外对角线(即不在凹四边形内)长度未知时,其余五边已知.

hujunhua 发表于 2011-11-9 21:55:27

本帖最后由 hujunhua 于 2011-11-9 22:23 编辑

基本上解决这个问题了。发出来请大家检查。
以下用 △i 表示由除 i以外的其它三点构成了三角形的面积，△i2可表示为u, v, w, x, y, z的多项式（海伦公式）。

完全四点形可分为两种型（楼上已说了，剽窃一哈）
1、三角型：顶点4在顶点1, 2, 3拉成的三角形内。这种型由面积关系可得到方程：

   △1+△2+△3-△4=0……………………………………………………（1）

2、四角形：任何三点形都不包围第4点。这种型由面积关系得到方程：

   △1+△2-△3-△4=0……………………………………………………（2）

将上述方程在S4（4阶置换群）变换下得到的全部方程相乘，就可得到了f(u, v, w, x, y, z)=0.
方程（1）在S4作用下有4个不同的方程（分别对应于1，2，3，4在三角形内），其它3个是
   △1+△2-△3+△4=0
   △1-△2+△3+△4=0
   -△1+△2+△3+△4=0
方程（2）在S4作用下有3个不同的方程（分别对应于3对对边作对角线），其它2个是
   △1-△2+△3-△4=0
   △1-△2-△3+△4=0

这7个方程相乘得到的g(△1, △2, △3, △4)=0左边不可能偶次式的，但是左边再乘以△1+△2+△3+△4就可经化为偶次式了，为

(△i8)-4(△i4△j4)+6(△i6△j2)+4(△i2△j2△k4)-40(△1△2△3△4)2=0

将海伦公式代入，便得到一个16次的多项式方程f(u, v, w, x, y, z)=0

zwh2010 发表于 2011-11-9 22:15:44

7# 数学星空

I 的结果好像有点问题吧，还是我没看清楚啊

数学星空 发表于 2011-11-9 23:30:33

对凸四边形情形:
设AB=x,BC=y,CD=u,DA=v,AC=z,BD=w
根据海伦公式及S_ABC+S_ADC=S_ABD+S_BCD得到:
z^2*v^4*u^4+2*x^2*y^2*v^2*z^2*u^2+2*x^2*y^2*v^2*w^2*u^2+2*x^2*z^2*v^2*w^2*u^2+y^2*v^4*w^2*u^2+y^2*z^4*w^2*u^2+
y^4*v^2*z^2*u^2-y^2*z^2*v^4*u^2-x^2*y^2*z^4*u^2-x^2*z^4*v^2*u^2-x^2*z^2*v^4*u^2-y^2*z^4*v^2*u^2+x^4*v^2*z^2*u^2-
x^4*y^2*z^2*u^2-x^2*y^4*z^2*u^2-x^4*v^2*w^2*u^2-x^2*v^4*w^2*u^2-x^2*v^2*w^4*u^2+x^4*y^2*w^2*u^2-x^2*y^2*w^4*u^2-
y^2*z^2*w^4*u^2-y^4*x^2*w^2*u^2-y^4*v^2*w^2*u^2-z^4*v^2*w^2*u^2-v^4*z^2*w^2*u^2+v^2*z^2*w^4*u^2-y^2*v^2*w^2*u^4-
z^2*v^2*w^2*u^4-y^2*v^2*z^2*u^4-x^2*y^2*w^2*u^4-y^2*z^2*w^2*u^4+x^2*y^2*z^2*u^4-x^2*v^2*z^2*u^4+x^2*v^2*w^2*u^4-
y^2*v^2*w^4*u^2-y^4*z^2*w^2*u^2+z^4*x^2*v^2*w^2+2*x^2*y^2*z^2*v^2*w^2+x^2*y^4*z^4-
y^2*z^4*x^2*v^2+y^4*x^2*v^2*w^2+2*y^2*z^2*x^2*w^2*u^2+2*y^2*z^2*v^2*w^2*u^2+z^2*x^2*y^2*v^4-z^2*x^2*v^4*w^2+
z^2*x^2*y^2*w^4-z^2*y^4*x^2*w^2+z^4*v^4*u^2+w^4*y^4*u^2+y^4*w^2*u^4+y^2*w^4*u^4+z^4*v^2*u^4-x^4*y^2*v^2*w^2-
x^2*y^2*v^4*w^2-x^4*z^2*v^2*y^2-x^4*z^2*v^2*w^2-x^4*z^2*w^2*y^2-z^4*x^2*w^2*y^2-x^2*z^2*v^2*w^4-y^4*z^2*x^2*v^2+x^4*v^4*w^2+x^4*v^2*w^4+y^2*z^4*x^4+y^4*z^2*x^4+x^2*v^4*w^4-x^2*v^2*w^4*y^2=0

x^2*u^4-x^2*y^2*u^2-x^2*z^2*u^2+x^4*u^2+z^2*v^2*u^2-x^2*v^2*u^2-x^2*w^2*u^2+w^2*y^2*u^2-z^2*w^2*u^2-y^2*v^2*w^2-
z^2*v^2*w^2-y^2*v^2*z^2-y^2*z^2*w^2+x^2*y^2*z^2+x^2*v^2*w^2-x^2*y^2*v^2+y^4*v^2-y^2*v^2*u^2+z^2*w^4+y^2*v^4+z^4*w^2-x^2*w^2*z^2=0

数学星空 发表于 2011-11-9 23:31:00

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