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数学星空 发表于 2011-11-10 22:14:38

三角形中内点与三个圆半径的问题

设三角形ABC的三边长分别为a,b,c, 且P为三角形内一点
(1)若三角形APB,BPC,CPA的内切圆半径分别为r1,r2,r3,试给出r1,r2,r3之间的关系式?
(2)若三角形APB,BPC,CPA的外接圆半径分别为R1,R2,R3,试给出R1,R2,R3之间的关系式?

数学星空 发表于 2011-11-13 21:15:58

为了计算可以设AP=x,BP=y,CP=z,AB=c,BC=a,CA=b.
根据题意列方程,很容易,但计算却无法进行......

数学星空 发表于 2011-11-13 21:22:26

对第(1)问:
       4*r1^2*(a+y+z)=(-a+y+z)*(a-y+z)*(a+y-z) ........(1)
       4*r2^2*(b+x+z)=(-b+x+z)*(b-x+z)*(b+x-z) .........(2)
       4*r3^2*(c+y+x)=(-c+y+x)*(c-y+x)*(c+y-x) ........(3)
       4*r1^2*(a+y+z)^2+4*r2^2*(b+x+z)^2+4*r3^2*(c+x+y)^2=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)*(a+b+c) ........(4)
题目的要求是:根据方程组消去x,y,z得到r1,r2,r3的关系式?

数学星空 发表于 2011-11-13 21:30:08

本帖最后由 数学星空 于 2011-11-13 21:31 编辑

对第(2)问:
   R1^2*(a+y+z)*(a-y+z)*(a+y-z)*(-a+y+z)=a^2*y^2*z^2.........(5)
   R2^2*(b+x+z)*(b-x+z)*(b+x-z)*(-b+x+z)=b^2*x^2*z^2.........(6)
   R3^2*(c+x+y)*(c-x+y)*(c+x-y)*(-c+x+y)=c^2*x^2*y^2.........(7)
   ((a*y*z)/(R1)+(b*x*z)/(R2)+(c*x*y)/(R3))^2=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c).........(8)
      题意是对以上方程组消元x,y,z得到R1,R2,R3的关系式?

数学星空 发表于 2011-11-13 21:33:58

以上两个问题的特列情况, 即r1=r2=r3,R1=R2=R3的问题可见
http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=2558&highlight=

wayne 发表于 2013-8-1 23:34:25

顶起来。
有时间再 深入一下

creasson 发表于 2013-8-2 09:43:42

数学星空 发表于 2013-8-3 10:17:50

表达式很美，也很对称，但求解射影系数alpha,beta也是一个难题，如何寻找合适的特征量简化表达式，从而最终得到答案，也是一个问题？

数学星空 发表于 2013-8-3 11:16:17

对于第2问，参照7#的解答：不知是否正确
alpha*b^2+beta*a^2-alpha*beta*c^2=(c^2/(16*R^2))*((alpha*beta)/gamma)*((R3)/(R1*R2))
alpha*c^2+gamma*a^2-alpha*gamma*b^2=(b^2/(16*R^2))*((alpha*gamma)/beta)*((R2)/(R1*R3))
beta*c^2+gamma*b^2-beta*gamma*a^2=(a^2/(16*R^2))*((beta*gamma)/alpha)*((R1)/(R2*R3))
alpha+beta+gamma=1

R为ABC的外接圆半径

creasson 发表于 2013-8-4 21:58:50

数学星空 发表于 2013-8-3 10:17
表达式很美，也很对称，但求解射影系数也是一个难题，如何寻找合适的特征量简化表达式，从而最终得到答案， ...

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