我也做到这一步了。
能否把较小的$N$的答案先算出来，然后看看能不能找到规律？
7# mathe
“应该$p(k)$都是$1/N$”
明显不对吧？ ABC为箱子，abc是里面的钥匙，最后的箱子是开的。数字是砸的次数。
不砸的概率$1/N$，砸N-1个箱子的概率是$1/(N!)$。
AB C 砸
ab c 2
ac b 1
bc a 0
ba c 1
ca b 0
cb a 1
合计
2+3+1=6
ABC D 砸
abc d 3
abd c 2
acd b 1
acb d 2
adb c 1
adc b 2
bcd a 0
bca d 1
bda c 0
bdc a 1
bac d 2
bad c 1
cda b 1
cdb a 0
cab d 1
cad b 0
cbd a 1
cba d 2
dab c 0
dac b 1
dbc a 2
dba c 1
dca b 0
dcb a 1
合计
6+11+6+1=24 这两个结果
$N=3$：$2+3+1=6$
$N=4$：$6+11+6+1=24$
让我想到了下面两个等式：
$(1+x)(2+x)=2+3x+x^2$
$(1+x)(2+x)(3+x)=6+11x+6x^2+x^3$ 下面计算p(1):
1至N的数字排列,形成2个环。
N为奇数，那么种类＝$\sum_{i=1}^{(N-1)/2}{((N!)/((N-i)!))/i*(((N-i)!)/(N-i))}$
=$N!*\sum_{i=1}^{(N-1)/2}{1/(i*(N-i))}$
=$(N!)/N*\sum_{i=1}^{(N-1)/2}{1/i+1/(N-i)}$
=$(N!)/N*\sum_{i=1}^{N-1}{1/i}$
N为偶数，那么种类＝$\sum_{i=1}^{N/2-1}{((N!)/((N-i)!))/i*(((N-i)!)/(N-i))}+((N!)/((N/2)!))/(N/2)*(((N/2)!)/(N/2))/2$
=$(N!)/N*\sum_{i=1}^{N-1}{1/i}$
------------------------------------------------
所以p(1)=$1/N*\sum_{i=1}^{N-1}{1/i}$ 受13楼的提示：
应该存在以下恒等式
$1/(N!)*\prod_{i=1}^{N-1}{i+x}=\sum_{i=0}^{N-1}{p(i)*x^i}$ 10# 056254628
我也做到这一步了。
能否把较小的$N$的答案先算出来，然后看看能不能找到规律？
7# mathe
“应该$p(k)$都是$1/N$”
明显不对吧？
KeyTo9_Fans 发表于 2012-1-11 21:28 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
的确完全想偏了 设N个锁砸k次的数目为$a_{N,k}$记
$F_N(x)=\sum_{k=0}^{+infty}a_{N,k}x^k$
是一个N-1次多项式。其中$F_1(x)=1$
对于N个锁砸k次，由于相当于k+1个环。其中第N个锁单独构成一个环的方案正好是$a_{N-1,k-1}$个
而对于第N个锁所在环必须至少两个锁的情况，删除第N个锁对应于一个$a_{N-1,k}$中的方案，而对于$a_{N-1,k}$中每个方案，插入第N个锁，根据它前面一个锁的数据的不同可以有N-1个方案，所以这种方案正好有$(N-1)a_{N-1,k}$个
所以得到$a_{N,k}=a_{N-1,k-1}+(N-1)a_{N-1,k}$
于是$F_N(x)=xF_{N-1}(x)+(N-1)F_{N-1}(x)$
于是$F_N(x)=(x+N-1)F_{N-1}(x)$
于是就可以得出13#的结论 17#
用递推方法确实不错。
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