论坛 › 小题大作 › 在四边形ABCD中，AD=CD, ∠ADC=90° ，∠ABC=60°，若BC=6√3, BD=7√2,则AB的长为？

nyy 发表于 2025-4-16 16:05:19

在四边形ABCD中，AD=CD, ∠ADC=90° ，∠ABC=60°，若BC=6√3, BD=7√2,则AB的长为？

在四边形ABCD中，AD=CD, ∠ADC=90° ，∠ABC=60°，若BC=6√3, BD=7√2,则AB的长为？
题目来自抖音

hujunhua 发表于 2025-4-16 20:59:35

如图作等腰直角三角形BCE，则△BCD∽△CEA
由AE/DB=CE/BC=√2 → AE=√2·DB=14
在△ABE中，∠ABE=90°+60°=150°，设AB= x，由余弦定理得
$x^2+2BEsin150°·x+BE^2=14^2$,即
$x^2+18x-88=0$
$(x+22)(x-4)=0$
$x=4$即对应本题的图。$x=-22$对应于A在本图AB延长线方向。

E点何来？
A和D皆有一个自由度，D在以B为中心的一个圆上滑动，A是D相对于C转动45°并伸长√2倍的像，
所以A的轨迹是D所在圆绕C转动45°并扩大√2倍的像，其圆心是B转动45°并伸长√2倍的像，那就是E。

nyy 发表于 2025-4-17 13:53:25

hujunhua 发表于 2025-4-16 20:59
如图作等腰直角三角形BCE，则△BCD∽△CEA
由AE/DB=CE/BC=√2 → AE=√2·DB=14
在△ABE中，∠ABE=90°+60 ...

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*线段长度赋值*)
BC=6*Sqrt
BD=7*Sqrt
ans=Solve[{
    AD==CD==AC/Sqrt,(*△ADC三边关系*)
    cs==Cos,(*∠ABC=60°余弦定理*)
    fun==0,(*四面体ABCD体积等于零*)
    AB>=0,AD>=0 (*限制变量范围*)
},{AB,AC,AD,CD}]//FullSimplify
Grid(*列表显示*)


求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to 4 & \text{AC}\to 2 \sqrt{31-6 \sqrt{3}} & \text{AD}\to \sqrt{62-12 \sqrt{3}} & \text{CD}\to \sqrt{62-12 \sqrt{3}} \\
\text{AB}\to 22 & \text{AC}\to 2 \sqrt{148-33 \sqrt{3}} & \text{AD}\to \sqrt{296-66 \sqrt{3}} & \text{CD}\to \sqrt{296-66 \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

这是电脑求出来的，不得不说你比电脑牛！

nyy 发表于 2025-4-17 14:09:30

nyy 发表于 2025-4-17 13:53
求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{AB}\to 4 & \text{AC}\to 2 \sqrt{31-6 \sqrt{3}} & \text{AD} ...

解析几何的办法解决问题
(*解析几何解决问题*)
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
{xb,yb}={0,0}
{xc,yc}={6*Sqrt,0}
ans=Solve[{
    ya/xa==Tan,(*∠ABC=60°*)
    (xb-xd)^2+(yb-yd)^2==7*7*2,(*BD距离公式*)
    (*Rt△ACD三边关系*)
    (xa-xd)^2+(ya-yd)^2==(xc-xd)^2+(yc-yd)^2==((xa-xc)^2+(ya-yc)^2)/2
},{xa,ya,xd,yd},Reals]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
AB=Sqrt[(xa-xb)^2+(ya-yb)^2]/.ans//FullSimplify


\[\begin{array}{llll}
\text{xa}\to -11 & \text{ya}\to -11 \sqrt{3} & \text{xd}\to \frac{1}{2} \left(-5 \sqrt{3}-11\right) & \text{yd}\to \frac{1}{2} \left(11-5 \sqrt{3}\right) \\
\text{xa}\to -2 & \text{ya}\to -2 \sqrt{3} & \text{xd}\to 4 \sqrt{3}-1 & \text{yd}\to -4 \sqrt{3}-1 \\
\text{xa}\to 2 & \text{ya}\to 2 \sqrt{3} & \text{xd}\to 4 \sqrt{3}+1 & \text{yd}\to 4 \sqrt{3}-1 \\
\text{xa}\to 11 & \text{ya}\to 11 \sqrt{3} & \text{xd}\to \frac{1}{2} \left(11-5 \sqrt{3}\right) & \text{yd}\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{3}+11\right) \\
\end{array}\]

AB的对应长度
{22, 4, 4, 22}

nyy 发表于 2025-4-17 14:26:35

nyy 发表于 2025-4-17 14:09
解析几何的办法解决问题






把两种解都画一下，画图更好看

nyy 发表于 2025-4-21 09:08:43

本帖最后由 nyy 于 2025-4-21 09:10 编辑

hujunhua 发表于 2025-4-16 20:59
如图作等腰直角三角形BCE，则△BCD∽△CEA
由AE/DB=CE/BC=√2 → AE=√2·DB=14
在△ABE中，∠ABE=90°+60 ...

把所有的解都画出来。
(*解析几何解决问题*)
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
{xb,yb}={0,0}
{xc,yc}={6*Sqrt,0}
ans=Solve[{
    ya/xa==Tan,(*∠ABC=60°*)
    (xb-xd)^2+(yb-yd)^2==7*7*2,(*BD距离公式*)
    (*Rt△ACD三边关系*)
    (xa-xd)^2+(ya-yd)^2==(xc-xd)^2+(yc-yd)^2==((xa-xc)^2+(ya-yc)^2)/2
},{xa,ya,xd,yd},Reals]//FullSimplify//ToRadicals
Grid(*列表显示*)
Grid(*列表显示*)
AB=Sqrt[(xa-xb)^2+(ya-yb)^2]/.ans//FullSimplify
(*绘图,把求解结果的四种情况都画出来*)
pA={xa,ya}
pB={xb,yb}
pC={xc,yc}
pD={xd,yd}
points={pA,pB,pC,pD}
Graphics[{
Blue, Line[{pA,pB,pC,pD,pA}],(*绘制线段连接点*)
Blue, Line[{pA,pC}],
Blue, Line[{pB,pD}],
Red, PointSize, Point,(* 标记所有点 *)
Text["A", pA, {0, 2}],(* 在点A上方标注"A"*)
Text["B", pB, {0, 2}],
Text["C", pC, {0, 2}],
Text["D", pD, {0, 2}]
}, Axes -> True]/.ans


求解结果
\[\begin{array}{llll}
\text{xa}\to -11 & \text{ya}\to -11 \sqrt{3} & \text{xd}\to \frac{1}{2} \left(-5 \sqrt{3}-11\right) & \text{yd}\to \frac{1}{2} \left(11-5 \sqrt{3}\right) \\
\text{xa}\to -2 & \text{ya}\to -2 \sqrt{3} & \text{xd}\to 4 \sqrt{3}-1 & \text{yd}\to -4 \sqrt{3}-1 \\
\text{xa}\to 2 & \text{ya}\to 2 \sqrt{3} & \text{xd}\to 4 \sqrt{3}+1 & \text{yd}\to 4 \sqrt{3}-1 \\
\text{xa}\to 11 & \text{ya}\to 11 \sqrt{3} & \text{xd}\to \frac{1}{2} \left(11-5 \sqrt{3}\right) & \text{yd}\to \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{3}+11\right) \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
\text{xa}\to -11. & \text{ya}\to -19.0526 & \text{xd}\to -9.83013 & \text{yd}\to 1.16987 \\
\text{xa}\to -2. & \text{ya}\to -3.4641 & \text{xd}\to 5.9282 & \text{yd}\to -7.9282 \\
\text{xa}\to 2. & \text{ya}\to 3.4641 & \text{xd}\to 7.9282 & \text{yd}\to 5.9282 \\
\text{xa}\to 11. & \text{ya}\to 19.0526 & \text{xd}\to 1.16987 & \text{yd}\to 9.83013 \\
\end{array}\]

四个解对应的图


突然想起来mathematica也能画图，然后就画出来了，但是ABCD这四个文字的大小，不知道如何修改。凑合能看吧
比我在CAD里面画图简单多了

查看完整版本: 在四边形ABCD中，AD=CD, ∠ADC=90° ，∠ABC=60°，若BC=6√3, BD=7√2,则AB的长为？