平方数立方数
定义一种特殊的三元组(a,b,c)，满足以下条件：1.a,b,c均为正整数，且a≤b≤c；
2.a^2+b^3是一个完全平方数（即存在整数k使得a^2+b^3=k^2);
3.a×b×c是一个完全立方数（即存在整数m使得a×b×c=m^3)。
问题：
给定一个上限N（例如N=10^18)，求：
1.所有满足条件的三元组(a,b,c)，其中c≤N；
2.满足条件的三元组数量随N增长的渐近表达式（需数学证明）；
3.高效算法（时间复杂度低于Ο(N)），并分析其最优性。
示例：(28,8,98),举例可能不恰当,不严谨,意思意思而已
28^2+8^3=784+512=1296=36^2（满足条件1）
28*8*98=21952=28^3（满足条件2）
若限制a,b,c两两互质，解的数量如何变化？ 3,3,24
3^2+3^3=6^2
3*3*24=6^3
a≤b≤c这个条件取消掉,a,b,c为正整数即可
a,b,c互质的找找看 满足条件的三元组c≤100
[, , , , ],解才有这几个,两两互质的一个也没有找到
数论爱好者 发表于 2025-4-26 00:00
满足条件的三元组c≤100
[, , , , ...
FindAllTriples := proc(N)
local b, factors, divisors, pairs, d1, d2, a, k, m, c, triples;
triples := [];
# 遍历所有可能的b值（修正范围：b ≤ N，而非N^(1/3)）
for b from 1 to N do
# 生成b^3的所有因数
factors := ifactors(b^3);
divisors := generate_divisors(factors);
pairs := generate_ordered_pairs(divisors, b^3);# 传入b^3的值用于验证
# 处理每个因数对 (d1, d2)
for pair in pairs do
d1 := pair;
d2 := pair;
# 检查d1和d2的奇偶性相同
if type(d1 + d2, even) then
# 计算a和k
a := (d2 - d1) / 2;
k := (d2 + d1) / 2;
# 检查a是否为整数且大于0
if a > 0 and type(a, integer) then
# 计算满足条件2的c值
min_m := ceil((a*b)^(1/3));
for m from min_m do
c := m^3 / (a*b);
if c > N then break end if;
if c::posint then
triples := ];
end if;
end do;
end if;
end if;
end do;
end do;
return triples;
end proc:
# 辅助函数1：生成所有因数
generate_divisors := proc(factors)
local divisors, p, e, temp, i, j;
divisors := ;
for f in factors do
p := op(1, f);
e := op(2, f);
temp := [];
for d in divisors do
for j from 0 to e do
temp := ;
end do;
end do;
divisors := temp;
end do;
return divisors;
end proc:
# 辅助函数2：生成有序因数对，并验证d1*d2 = target
generate_ordered_pairs := proc(divisors, target)
local pairs, i, j, d1, d2;
pairs := [];
for i from 1 to nops(divisors) do
for j from i to nops(divisors) do
d1 := divisors;
d2 := divisors;
if d1 * d2 = target then
pairs := ];
end if;
end do;
end do;
return pairs;
end proc:
# 示例验证（N=100）
result := FindAllTriples(100);
print("所有符合条件的三元组:");
print(result);
运行结果:
[, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ] 可以穷举abc整体互质的解：
f:=Values@Solve==1&&Max<=e,{a,b,c,n,m},PositiveIntegers];v=f;{Length@v,v[]}
{13,{{1,2,4},{1,2,32},{1,2,108},{6,4,9},{8,8,1},{8,8,27},{8,8,125},{25,6,180},{120,9,25},{120,9,200},{162,36,1},{162,36,125},{200,24,45}}}
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