中考模拟题，求tan∠ABP的值
中考模拟题，求tan∠ABP的值我发现我只能用解析几何，
以a点为圆心，
假设出Q点的坐标，
利用复数旋转得到p点的坐标，
然后得到中点m点的坐标，
BPM3点共线列一个方程，
Q点在圆上列一个方程，
这样就能求解出q点的坐标。
但是我觉得这期应该不是方程组的解答。
那是什么办法呢？
总感觉网上的中考题都是很难的。
没看懂你说的 如图：
可求出 BM 中各线段的长度，从而求出 \(\Delta QMN\) 各边长。 Jack315 发表于 2025-5-1 08:27
如图：
可求出 BM 中各线段的长度，从而求出 \(\Delta QMN\) 各边长。
假设QM=MD=x，则BP=2x，
利用勾股定理两次，建立方程，
但是求解出来是两个解。
但是我用解析几何求解出来的似乎是一个解。
\(△ABP≌△ADQ。(2\sqrt{2})^2=4^2+(2DM)^2-2*4(2DM)\cos(B), \)
其中:\(\frac{DM}{\sin(\pi/4-b)}=\frac{4\sqrt{2}}{\sin(\pi/2}\ 代入。手工可以有\tan(B)=(4+\sqrt{7})/9\) 王守恩 发表于 2025-5-1 10:42
\(△ABP≌△ADQ。(2\sqrt{2})^2=4^2+(2DM)^2-2*4(2DM)\cos(B), \)
其中:\(\frac{DM}{\sin(\pi/4-b)}=\frac ...
Solve[{x*x+y*y==16,(y+2x)^2+x*x==32,x>0,y>0},{x,y}]
QM=x
PM=y 本帖最后由 Jack315 于 2025-5-1 23:58 编辑
确实有两个解：
\(x=MD=\sqrt{6\mp2\sqrt{7}}\)
\(\tan{\angle{ABP}}=(4\pm\sqrt{7})/9\)
另一个解的图形：
用3#的图，设 \(x=MD\) 得到方程：\((2x+\sqrt{16-x^2})^2+x^2=32\)
解这个方程得到 \(x^2=6\pm2\sqrt{7}\)
从解方程的角度来说，只有一个解：\(x^2=6-2\sqrt{7}\)。
因为另一个解其实不是 3# 的这个图。 本帖最后由 Jack315 于 2025-5-2 08:50 编辑
【5# 的方法】
设 \(x=MD\)，\(\theta=\angle{ABP}=\angle{ADQ}\)。
由正弦定理得：\(x/\sin{(45\degree-\theta)}=4\sqrt{2}/\sin{90\degree}\rightarrow x=4(\cos{\theta}-\sin{\theta})\)
由余弦定理得：\(8=4x^2+16-2\cdot 2x\cdot 4\cdot\cos{\theta}\rightarrow x^2-4x\cos{\theta}+2=0\)
将 x 代入得：\(9\tan^2{\theta}-8\tan{\theta}+1=0\rightarrow \tan{\theta}=(4\pm\sqrt{7})/9\)
同样地，两个解对应了两个不同的图。
这个问题有且只有两个解。
有兴趣的话，还可以试试 M 不是 QD 中点的情况。 Jack315 发表于 2025-5-2 08:39
【5# 的方法】
设 \(x=MD\)，\(\theta=\angle{ABP}=\angle{ADQ}\)。
由正弦定理得：\(x/\sin{(45\degree-\t ...
我用解析几何，解决一下这个问题！
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
(*子函数,二维旋转矩阵,不知道为什么RotationMatrix这个函数用不了了*)
rotmatrix:={{Cos,-Sin},{Sin,Cos}}
(*定义变量*)
{xA,yA}={0,0}
{xB,yB}={0,-4}
{xC,yC}={4,-4}
{xD,yD}={4,0}
{xQ,yQ}=rotmatrix.{xP,yP} (*这里的乘法只能用点,而不能用星号*)
{xM,yM}=({xQ,yQ}+{xD,yD})/2(*中点坐标公式*)
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
(xA-xQ)^2+(yA-yQ)^2==8,(*AQ=根号8*)
Det[{{xB,yB,1},{xP,yP,1},{xM,yM,1}}]==0,(*BPM三点共线*)
Det[{{xB,yB,1},{xP,yP,1},{xN,yN,1}}]==0,(*BPN三点共线*)
yN==0
},{xP,yP,xN,yN}]//FullSimplify
(*绘图,画出线与点*)
ptA={xA,yA}
ptB={xB,yB}
ptC={xC,yC}
ptD={xD,yD}
ptP={xP,yP}
ptQ={xQ,yQ}
ptM={xM,yM}
ptN={xN,yN}
points={ptA,ptB,ptC,ptD,ptP,ptQ,ptM,ptN}
Graphics[{
Blue, Line[{ptA,ptB,ptC,ptD,ptA}],(*绘制线段连接点*)
Blue, Line[{ptB,ptP,ptM}],
Blue,Line[{ptA,ptP}],
Blue,Line[{ptA,ptQ}],
Blue,Line[{ptQ,ptD}],
Blue,Line[{ptB,ptD}],
Pink,Dashed,Line[{ptP,ptQ}],
Pink,Dashed,Line[{ptP,ptD}],
Red, PointSize, Point,(* 标记所有点 *)
Text["A", ptA, {0, 2}],(* 在点A上方标注"A"*)
Text["B", ptB, {0, 2}],
Text["C", ptC, {0, 2}],
Text["D", ptD, {0, 2}],
Text["P", ptP, {0, 2}],
Text["Q", ptQ, {0, 2}],
Text["N", ptN, {0, 2}],
Text["M", ptM, {0, 2}]
}, Axes -> True,ImageSize -> 400]/.ans
aaa={ptP,ptQ,ptM,ptN}/.ans
Grid(*列表显示*)
方程组求解结果：
\[\begin{array}{llll}
\text{xP}\to 1 & \text{yP}\to -\sqrt{7} & \text{xN}\to \frac{4}{9} \left(\sqrt{7}+4\right) & \text{yN}\to 0 \\
\text{xP}\to 1 & \text{yP}\to \sqrt{7} & \text{xN}\to \frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{7}-4\right) & \text{yN}\to 0 \\
\end{array}\]
PQMN四点坐标如下
\[\begin{array}{llll}
\left\{1,-\sqrt{7}\right\} & \left\{\sqrt{7},1\right\} & \left\{\frac{1}{2} \left(\sqrt{7}+4\right),\frac{1}{2}\right\} & \left\{\frac{4}{9} \left(\sqrt{7}+4\right),0\right\} \\
\left\{1,\sqrt{7}\right\} & \left\{-\sqrt{7},1\right\} & \left\{\frac{1}{2} \left(4-\sqrt{7}\right),\frac{1}{2}\right\} & \left\{\frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{7}-4\right),0\right\} \\
\end{array}\]
mathematica软件画图结果
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