中考模拟题，求tan∠ABP的值

nyy

中考模拟题，求tan∠ABP的值
我发现我只能用解析几何，
以a点为圆心，
假设出Q点的坐标，
利用复数旋转得到p点的坐标，
然后得到中点m点的坐标，
BPM3点共线列一个方程，
Q点在圆上列一个方程，
这样就能求解出q点的坐标。
但是我觉得这期应该不是方程组的解答。
那是什么办法呢？
总感觉网上的中考题都是很难的。

nyy

没看懂你说的

Jack315

如图：

可求出 BM 中各线段的长度，从而求出 \(\Delta QMN\) 各边长。

nyy

Jack315 发表于 2025-5-1 08:27
如图：

可求出 BM 中各线段的长度，从而求出 \(\Delta QMN\) 各边长。

假设QM=MD=x，则BP=2x，
利用勾股定理两次，建立方程，
但是求解出来是两个解。
但是我用解析几何求解出来的似乎是一个解。

王守恩

\(△ABP≌△ADQ。(2\sqrt{2})^2=4^2+(2DM)^2-2*4(2DM)\cos(B), \)

其中:\(\frac{DM}{\sin(\pi/4-b)}=\frac{4\sqrt{2}}{\sin(\pi/2}\ 代入。手工可以有\tan(B)=(4+\sqrt{7})/9\)

nyy

王守恩 发表于 2025-5-1 10:42
\(△ABP≌△ADQ。(2\sqrt{2})^2=4^2+(2DM)^2-2*4(2DM)\cos(B), \)

其中:\(\frac{DM}{\sin(\pi/4-b)}=\frac ...

Solve[{x*x+y*y==16,(y+2x)^2+x*x==32,x>0,y>0},{x,y}]

QM=x
PM=y

Jack315

确实有两个解：
\(x=MD=\sqrt{6\mp2\sqrt{7}}\)
\(\tan{\angle{ABP}}=(4\pm\sqrt{7})/9\)
另一个解的图形：

Jack315

用3#的图，设 \(x=MD\) 得到方程：\((2x+\sqrt{16-x^2})^2+x^2=32\)
解这个方程得到 \(x^2=6\pm2\sqrt{7}\)
从解方程的角度来说，只有一个解：\(x^2=6-2\sqrt{7}\)。
因为另一个解其实不是 3# 的这个图。

Jack315

【5# 的方法】
设 \(x=MD\)，\(\theta=\angle{ABP}=\angle{ADQ}\)。
由正弦定理得：\(x/\sin{(45\degree-\theta)}=4\sqrt{2}/\sin{90\degree}\rightarrow x=4(\cos{\theta}-\sin{\theta})\)
由余弦定理得：\(8=4x^2+16-2\cdot 2x\cdot 4\cdot\cos{\theta}\rightarrow x^2-4x\cos{\theta}+2=0\)
将 x 代入得：\(9\tan^2{\theta}-8\tan{\theta}+1=0\rightarrow \tan{\theta}=(4\pm\sqrt{7})/9\)
同样地，两个解对应了两个不同的图。

这个问题有且只有两个解。
有兴趣的话，还可以试试 M 不是 QD 中点的情况。

nyy

Jack315 发表于 2025-5-2 08:39
【5# 的方法】
设 \(x=MD\)，\(\theta=\angle{ABP}=\angle{ADQ}\)。
由正弦定理得：\(x/\sin{(45\degree-\t ...

我用解析几何，解决一下这个问题！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,二维旋转矩阵,不知道为什么RotationMatrix这个函数用不了了*)
   
4. rotmatrix[x_]:={{Cos[x],-Sin[x]},{Sin[x],Cos[x]}}
   
5. (*定义变量*)
   
6. {xA,yA}={0,0}
   
7. {xB,yB}={0,-4}
   
8. {xC,yC}={4,-4}
   
9. {xD,yD}={4,0}
   
10. {xQ,yQ}=rotmatrix[90deg].{xP,yP} (*这里的乘法只能用点,而不能用星号*)
    
11. {xM,yM}=({xQ,yQ}+{xD,yD})/2(*中点坐标公式*)
    
12. (*列方程组解决问题*)
    
13. ans=Solve[{
    
14.     (xA-xQ)^2+(yA-yQ)^2==8,(*AQ=根号8*)
    
15.     Det[{{xB,yB,1},{xP,yP,1},{xM,yM,1}}]==0,(*BPM三点共线*)
    
16.     Det[{{xB,yB,1},{xP,yP,1},{xN,yN,1}}]==0,(*BPN三点共线*)
    
17.     yN==0
    
18. },{xP,yP,xN,yN}]//FullSimplify
    
19. (*绘图,画出线与点*)
    
20. ptA={xA,yA}
    
21. ptB={xB,yB}
    
22. ptC={xC,yC}
    
23. ptD={xD,yD}
    
24. ptP={xP,yP}
    
25. ptQ={xQ,yQ}
    
26. ptM={xM,yM}
    
27. ptN={xN,yN}
    
28. points={ptA,ptB,ptC,ptD,ptP,ptQ,ptM,ptN}
    
29. Graphics[{
    
30.   Blue, Line[{ptA,ptB,ptC,ptD,ptA}],(*绘制线段连接点*)
    
31.   Blue, Line[{ptB,ptP,ptM}],  
    
32.   Blue,Line[{ptA,ptP}],  
    
33.   Blue,Line[{ptA,ptQ}],  
    
34.   Blue,Line[{ptQ,ptD}],  
    
35.   Blue,Line[{ptB,ptD}],  
    
36.   Pink,Dashed,Line[{ptP,ptQ}],  
    
37.   Pink,Dashed,Line[{ptP,ptD}],  
    
38.   Red, PointSize[0.01], Point[points],(* 标记所有点 *)
    
39.   Text["A", ptA, {0, 2}],  (* 在点A上方标注"A"*)
    
40.   Text["B", ptB, {0, 2}],  
    
41.   Text["C", ptC, {0, 2}],  
    
42.   Text["D", ptD, {0, 2}],
    
43.   Text["P", ptP, {0, 2}],
    
44.   Text["Q", ptQ, {0, 2}],
    
45.   Text["N", ptN, {0, 2}],
    
46.   Text["M", ptM, {0, 2}]
    
47. }, Axes -> True,ImageSize -> 400]/.ans
    
48. aaa={ptP,ptQ,ptM,ptN}/.ans
    
49. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

方程组求解结果：
\[\begin{array}{llll}
\text{xP}\to 1 & \text{yP}\to -\sqrt{7} & \text{xN}\to \frac{4}{9} \left(\sqrt{7}+4\right) & \text{yN}\to 0 \\
\text{xP}\to 1 & \text{yP}\to \sqrt{7} & \text{xN}\to \frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{7}-4\right) & \text{yN}\to 0 \\
\end{array}\]

PQMN四点坐标如下
\[\begin{array}{llll}
\left\{1,-\sqrt{7}\right\} & \left\{\sqrt{7},1\right\} & \left\{\frac{1}{2} \left(\sqrt{7}+4\right),\frac{1}{2}\right\} & \left\{\frac{4}{9} \left(\sqrt{7}+4\right),0\right\} \\
\left\{1,\sqrt{7}\right\} & \left\{-\sqrt{7},1\right\} & \left\{\frac{1}{2} \left(4-\sqrt{7}\right),\frac{1}{2}\right\} & \left\{\frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{7}-4\right),0\right\} \\
\end{array}\]

mathematica软件画图结果