m = {13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151,1990368};
n = {2, 177, 352, 1536, 2401, 40898, 60625, 185761,19512097, 47761921}; m^2/n
$\{\frac{169}{2},\frac{1475}{3},\frac{2475}{8},\frac{8281}{96},\frac{24025}{49},\frac{1225}{2},\frac{16393}{25},1296,8833,82944\}$
David A. Corneth: Attributing to Zhining as well. I used his formula from mathematica. Alternatively from A330(n) - A330(m) = k^4 we could factor out n-m on the LHS and multiply by 6 on both sides, go over some divisors of 6*k^4 and see if the system of equations has a solution. I suppose Zhining's solution is similar and just skipped the details on my solution.
David A. Corneth: To ease computation of divisors(12*m^4), construct from factor(12*m^4) which in turn can be constructed from factor(m) and factor(12).
northwolves 发表于 2025-5-4 07:57
对于已有的前10个解：
m = {13, 295, 330, 364, 1085, 5005, 6305, 15516, 415151,1990368};
n = {2, 17 ...
下列分析,仅供参考,不知对错
1. **共享质因数**：每个m和对应的n之间至少有一个共同的质因数，尤其是较大的质因数。
2. **高次幂结构**：n中的共同质因数通常以平方或更高次幂出现，特别是当该质数较大时。
3. **质数平方关联**：当m包含较大的质数p时，对应的n往往包含p²。
4. **组合模式**：当m由多个质数组成时，n可能选取其中一个或多个质数的高次幂组合，可能引入新的质因数。
1. 共享质因数关系
每个m和对应的n之间至少共享一个质因数，且该质因数在n中通常以更高幂次出现：
例1：m=295=5×59 → n=177=3×59（共享59）
例2：m=6305=5×13×97 → n=60625=5⁴×97（共享5和97）
例3：m=415151=11²×47×73 → n=19512097=11²×47²×73（共享11²、47、73）
2. 大质数平方规律
当m包含较大质数p时，对应的n中常包含p²：
例1：m=15516=2²×3²×431 → n=185761=431²
例2：m=1990368=2⁵×3²×6911 → n=47761921=6911²
3. 高次幂组合特征
n的质因数分解中，常包含m中质数的高次幂组合：
例1：m=5005=5×7×11×13 → n=40898=2×11²×13²（11²和13²）
例2：m=1085=5×7×31 → n=2401=7⁴（7⁴）
4. 结构模式分类
根据分解形式，可归纳为以下两类：
(1) 单一质数平方型
m包含质数p → n=p²
m=15516（含431）→ n=431²
m=1990368（含6911）→ n=6911²
(2) 混合幂次组合型
m含多个质数 → n选取部分质数的高次幂组合
m=5005=5×7×11×13 → n=2×11²×13²
m=415151=11²×47×73 → n=11²×47²×73
5. 数学意义
这些规律暗示该问题可能对应某种数论方程的特殊解结构，例如：
连续平方和问题可能转化为佩尔方程或其变体
解的形式与二次域中的单位数或代数数论结构相关
共享质因数可能对应同余条件或因子分解约束
6. 应用价值
利用这些规律可优化搜索算法：
预筛选候选m：优先选择含较大质数或特定质数组合的m值
预测n的结构：根据m的质因数快速生成候选n值
分布式计算优化：针对不同质数类型分割搜索范围
wayne 发表于 2025-5-3 23:21
1) 你说的不快，是啥意思，是你改进了Mathematica代码吗，改进的地方在哪，
还是你用2010年发布的 Mathemat ...
用rust实现了一遍，完全一样的代码，跑m<10^8以内，大概用了20分钟，跑m<10^9以内，大概用了2小时。
1: 2,(0,1)
13: 2,(119,120)
26: 169,(-66,102)
33: 242,(-116,125)
295: 177,(6453,6629)
330: 352,(5628,5979)
364: 1536,(2584,4119)
1085: 2401,(22815,25215)
5005: 40898,(102855,143752)
5546: 163607,(-22205,141401)
5682: 230121,(-104266,125854)
6305: 60625,(130189,190813)
6538: 218089,(-42602,175486)
15516: 185761,(463116,648876)
415151: 19512097,(28852809,48364905)
1990368: 47761921,(549179184,596941104)
3538366: 1170329056,(-444457089,725871966)
34011252: 1224370081,(32444862444,33669232524)
42016497: 7957888849,(15677038563,23634927411)
79565281: 10842382346,(55295566081,66137948426)
139107722: 11474926944,(174877814828,186352741771)
175761059: 208152552417,(-72866423455,135286128961)
254801664: 12230369281,(580937232576,593167601856)
418093065: 190412616875,(301592669864,492005286738)
667378972: 497818686976,(365777063316,863595750291)
1214995500: 72899460001,(5430989520300,5503888980300)
3609736702,1384334025217,(10375285703460,11759619728676)
4353556896,313455536641,(33696409723056,34009865259696)
wayne 发表于 2025-5-4 08:37
计算了一下，发现只有$\frac{12m^4}{n}$是整数，而$\frac{m}{n}，\frac{m^2}{n}，\frac{m^3}{n}，\frac{m ...
确实如northwolves所言。 6m^4/n 都是整数。这个也很好证明，因为$m^4 = \sum _{i=a}^b i^2 = \frac{1}{6} (-a+b+1) \left(2 a^2+2 a b-a+2 b^2+b\right)，-a+b+1=n$
10^10，花了一晚上的功夫跑完，难以置信，只有一个答案。
1214995500: 72899460001,(5430989520300,5503888980300)
对于10^10,我可能需要重新跑一下, 因为我故意忽略了超过64位的因子.但是有可能存在大于64位整数范围的n, 使得m小于64位整数.
比如10^9的范围内的 m=667378972, n=497818686976的情况, m只有9位,但是n就已经有16位了. 而64位整数最大是19位整数,18446744073709551613, 挨的很近.
理论上,对于m是64位整数的情况,n需要搜索256位数整数.为了保证$6m^4$不超出128位整数,m<IntegerPart[(2^128/6)^(1/4)] = 2744239736= 2.7*10^9
用256位整数保存中间结果，防止128位数的溢出(m>2.7*10^9的时候出现)，然后重新跑10^10，捡到漏了
3609736702,1384334025217,22134905432136,(10375285703460,11759619728676)
4353556896,313455536641,67706274982752,(33696409723056,34009865259696)
我发现.咱们可以直面这个四次方程 $12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, 对于给定的n, 用sagemath发现,总是 等价于有理域上的椭圆曲线$y^2 = x^3 + 432n^3(n^2-1)x$. 现在我却不知道这二者之间的变换关系.
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不知道sagemath是怎么转换的. 双有理变换我也试过了,好像不太对劲.要解方程$f(t) = -12 t^4 - n + n^3=0$. 具体过程如下:
$m \to\frac{a x+b}{c x+d},q \to \frac{y (a d-b c)}{(c x+d)^2$得到$x^4 \left(-12 a^4+c^4 n^3-c^4 n\right)+x^3 \left(-48 a^3 b+4 c^3 d n^3-4 c^3 d n\right)+x^2 \left(-72 a^2 b^2+6 c^2 d^2 n^3-6 c^2 d^2 n\right)+y^2 \left(3 a^2 d^2 n-6 a b c d n+3 b^2 c^2 n\right)+x \left(-48 a b^3+4 c d^3 n^3-4 c d^3 n\right)-12 b^4+d^4 n^3-d^4 n=0$
令$f(\frac{a}{c}) = -12 (\frac{a}{c})^4 - n + n^3=0$,也即是$f(t) = -12 t^4 - n + n^3=0$ 这就陷入死胡同了.
从这个帖子得知，四次曲线转化成 Weierstrass 的形式的前提是有一个有理点。而f(t)不存在有理点。https://ask.sagemath.org/question/8766/elliptic-curves-in-quartic-and-standard-form/
所以需要转化成Jacobian 的形式。https://mathoverflow.net/questions/239746/birationally-transforming-a-quartic-elliptic-curve
wayne 发表于 2025-5-8 21:15
我发现.咱们可以直面这个四次方程 $12 m^4-3 n q^2=n^3-n$, 对于给定的n, 用sagemath发现,总是 有理域上的 ...
对此问题,我一窍不通,交给软件去解决,下面这两个答案,必有一个是错的