用Mathematica 求方程a/(b + c)+b/(a + c)+c/(a + b)=4正整数解。
本帖最后由 笨笨 于 2025-5-5 13:48 编辑用数学软件Mathematica求方程 \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} = 4\)正整数解。 王金元已经帮你算好了,值都很大
A283564
正整数k，使得k = a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) 对于一些正整数a，b和c，其中对应的椭圆曲线具有秩 = 1。
4
4, 6, 10, 12, 14, 16, 18, 24, 28, 32, 38, 42, 46, 48, 58, 60, 66, 76, 82, 92, 102、112、116、126、130、132、136、146、156、158、162, 178, 182, 184, 186, 196, 198, 200, 206, 218, 232, 266, 270, 276, 282, 304, 310, 312, 314, 318, 332, 336, 338, 346, 348, 362, 364, 378, 382, 388,402、408
(列表; 图; 参考文献; 听; 历史; 文本; 内部格式)
偏移量
1,1
评论
这个序列中没有奇数。
a、b和c的值非常大。最小的已知解包含81个数字 (对于k = 4)。
王金元的程序给出了所有k<= 14的最小可能解。但是对于k = 16和f(16，-676，15652)，我们得到包含21349个数字的解。Emilvla á k发现了一个更短的解决方案，只有412位。我们从f(16，-43928/81，-10230056/729) 得到它。-瓦茨拉夫·科特索维茨,2024年1月22日
链接
表n，a(n) 为n = 1 .. 62。
Alon Amit,你如何找到… 的正整数解？,Quora，2017年8月7日 [断开链接]
安德鲁·布雷姆纳和艾伦·麦克劳德，一个不寻常的立方表示问题,Annales Mathematicae et Informaticae，第43卷 (2014年)，第29-41页，见表2第38页。
Mathoverflow,估计丢番图方程解的大小
H. Nakao,椭圆曲线上的有理点: x/(y + z)+ y/(z + x)+ z/(x + y)= n,2018年 (日语)。
物理论坛，求a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)= 4的正整数解,2017年8月6日
王金元，k = 4，6，10，12，14的PARI程序和细节
https://oeis.org/A283564/a283564.txt 用数学软件Mathematica怎么编程？有人会吗 笨笨 发表于 2025-5-5 11:49
用数学软件Mathematica怎么编程？有人会吗
Mathematica在椭圆曲线方面的功能可能不如Magma强大.网页里面有现成的程序,你把它粘贴到AI网站,让它帮你转换代码,不可能一次转换成功,每运行一次,若不成功,发送错误信息,让它多帮你改几次就可以了.把这句加上:Magma代码转Mathematica代码,然后粘贴代码 本帖最后由 笨笨 于 2025-5-6 10:16 编辑
数论爱好者 发表于 2025-5-5 12:43
Mathematica在椭圆曲线方面的功能可能不如Magma强大.网页里面有现成的程序,你把它粘贴到AI网站,让它帮你 ...
用【豆包】AI在线代码转换的：
is[k_, d_,
e_] := (24 + 8 k - d - Abs > 0) && (-24 - 8 k - (4 + 2 k) d > 0);
f := Module[{m, t, d, e, g, h, r, a, b, c, s}, m = 2;
t = (3 x^2 + (8 k^2 + 24 k - 6) x + 32 k + 96)/(2 y);
d = (y - x t)^2/x^2;
e = (x - d) t - y;
While[! is, m++;
g = (x e - y d)^2/(x d (x - d)^2);
h = ((y - e) g + x e - y d)/(d - x);
d = g;
e = h];
r = Denominator Denominator;
a = r (24 + 8 k - d - Abs);
b = r (24 + 8 k - d + Abs);
c = r (-24 - 8 k - (4 + 2 k) d);
s = GCD;
a = a/s;
b = b/s;
c = c/s;
If[b > c, {b, c} = {b + c, b - c};
b = b - c];
If[a > b, {a, b} = {a + b, a - b};
a = a - b];
Print["k = ", k, ", m = ", m, ":"];
Print["a=", a, "; #digits(a)=", IntegerLength]];
Print["b=", b, "; #digits(b)=", IntegerLength]];
Print["c=", c, "; #digits(c)=", IntegerLength]];];
f;
f;
f;
f;
f;
最终结果为什么不一样？
k = 4, m = 9:
a=17494450711714789031445010409485560611266150232646454474485751973513693871088144; #digits(a)=80
b=28127906438272605311475306360482694519859904852648743759040261484880377698511507; #digits(b)=80
c=150103189430817469184090062417548447332847788111403818081405196904874778567505963; #digits(c)=81 笨笨 发表于 2025-5-6 10:07
用【豆包】AI在线代码转换的：
难道你真的认为人工智能没有bug吗？ 笨笨 发表于 2025-5-6 10:07
用【豆包】AI在线代码转换的：
我帮你改了一下,运行结果正确,能够的到大数值.is := (24 + 8 k - d - Abs > 0) && (-24 - 8 k - (4 + 2 k) d > 0);
f := Module[{m, t, d, e, g, h, r, a, b, c, s},
m = 2;
t = (3 x^2 + (8 k^2 + 24 k - 6) x + 32 k + 96)/(2 y);
d = (y - x t)^2/x^2;
e = (x - d) t - y;
(* 修改迭代过程，确保数值稳定性 *)
While[! is && m < 20, m++;
g = (x e - y d)^2/(x d (x - d)^2);
h = ((y - e) g + x e - y d)/(d - x);
{d, e} = Rationalize[{g, h}, 10^-50]; (* 保持高精度 *)
];
If]];
(* 计算最终结果 *)
r = Denominator Denominator;
a = r (24 + 8 k - d - Abs);
b = r (24 + 8 k - d + Abs);
c = r (-24 - 8 k - (4 + 2 k) d);
s = GCD;
{a, b, c} = {a, b, c}/s;
(* 排序结果 *)
If;
If;
Print["k = ", k, ", m = ", m, ":"];
Print["a=", a, "; #digits(a)=", IntegerLength]];
Print["b=", b, "; #digits(b)=", IntegerLength]];
Print["c=", c, "; #digits(c)=", IntegerLength]];
];
(* 测试k=4的情况 *)
f; 我只对其中的数学原理感兴趣，
我到现在都不明白其中的数学原理 数论爱好者 发表于 2025-5-5 11:30
王金元已经帮你算好了,值都很大
A283564
正整数k，使得k = a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) 对于一些正 ...
对应的椭圆曲线具有秩 = 1，
这个是什么意思呢？
我一直都想明白这个问题 问题可能我们还没有学到群理论
对应的椭圆曲线具有秩=1”这一表述并非翻译错误。这里的“秩”指的是椭圆曲线的有理点群作为阿贝尔群的秩，即生成元的最大数目。秩为1意味着该椭圆曲线有无限多个有理点，并且这些点由一个生成元加上可能的扭点生成。
对于每个正整数k，方程k = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)可以通过代数变换（如去分母、变量替换等）转化为一条椭圆曲线的方程。若这条椭圆曲线的秩为1，则存在无限多组正整数解(a, b, c)，因此k被收录到序列A283564中。
例如，当k=4时，原方程对应的椭圆曲线秩为1，存在庞大的正整数解（如a, b, c均为几十位数），这验证了秩为1的椭圆曲线确实能生成丰富解的结构。因此，序列中的k值均满足对应的椭圆曲线秩为1的条件。
结论：
“秩=1”正确描述了椭圆曲线的代数性质，指其有理点群的生成元数目为1。这样的椭圆曲线允许无限多解存在，因此对应的k值被收录到OEIS序列A283564中。
以下是另一个网页的简单翻译,翻译让公式变形,幂指数的符号^没有正确显示,你打开英文版自己理解
https://mathoverflow.net/questions/227713/estimating-the-size-of-solutions-of-a-diophantine-equation
估计丢番图方程解的大小
问 9年，4个月前
已修改 2年，3个月前
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175
A.有自然数吗a,b,c
这样的ab+c+ba+c+ca+b
等于奇数自然数？
(我不知道任何这样的数字)。
B.假设ab+c+ba+c+ca+b
等于偶数自然数 (a,b,c
仍然是自然数) 那么有没有办法估计a,b
和c
?
我知道的最小解决方案 ab+c+ba+c+ca+b=4
是: 在此处输入图像描述
在文本 (从 @ djsadinoff下面的评论):
a=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
nt.数论
椭圆曲线
丢番图方程
有理点
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改善这个问题
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已编辑2023年1月29日21:29
user1952500的用户头像
user1952500
10344枚青铜徽章
问2016年1月5日16:55
alex alexeq的用户头像
alex alexeq
1,88133金徽章1313个银色徽章1212枚青铜徽章
17
我很好奇，你是怎么找到a,b,c
你最后说的是什么？
-
Wojowu
已评论2016年1月5日在22:47
11
@ Wojowu: 我不知道alex alexeq是如何找到它们的，但是您可以做的是以下内容。您可以使用Magma或Sage之类的计算机代数系统来查找该组的发电机E′4(Q)
(比较我的答案)，然后您通过增加高度来枚举非身份组件上的点，并检查它们是否给出正a,b,c
。数字a,b,c
问题中给出的来自以这种方式找到的第一组六个点。
-
迈克尔·斯托尔
已评论2016年1月6日9:00
6
a = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036; b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579; c = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999;
-
djsadinoff
已评论2017年3月9日11:57
7
有一个酷讲座数学&物理标题为 “从月光到黑洞: 数学和物理学中的数论”，我本周看到了。物理学家杰弗里·哈维有这个问题，并在他的视频20:00，25:06回答。
-
Peter_from_NYC
已评论2017年9月8日在22:56
4
只是添加链接到Alon Amit的quora答案哪个引用了这个MO问题，是一个更基本的概述
-
Dabed
已评论2021年8月8日13:48
显示8更多评论
2个答案
排序依据:
最高分 (默认)
133
这个问题原来比我原来有趣多了 思想。让我给我的解决方案，这似乎是从略有不同 (但本质上是相同的) Bremner和 麦克劳德 (见艾伦·麦克劳德的回答)。
定理。让a,b,c
为正整数。然后 ab+c+bc+a+ca+b
永远不能是奇数整数。
让n
为正整数。方程 ab+c+bc+a+ca+b=n
暗示
a3+b3+c3+abc−(n−1)(a+b)(b+c)(c+a)=0。
这描述了一个平滑的三次曲线En
在射影平面 至少有六个理性点 (形式为(1:−1:0)
和(1:−1:1)
及其循环排列)。声明其中之一 这些是起源，En
是一条椭圆曲线Q
。 带来En
在Weierstrass形式中，我们获得了同构曲线
E′n:y2=x(x2+(4n(n+3)−3)x+32(n+3))=:x(x2+Ax+B)。
如果n=1
,那么显然没有正解，所以我们 假设n≥3
。然后En(右)
有两个相连的组件， 其中一个包含六个 “琐碎” 点，但没有 正坐标，而另一个分量确实包含正坐标 点。在模型中E′n
,此组件由具有 负x
-坐标。
索赔。如果(ξ,η)∈E′n(Q)
,然后ξ≥0
。
这显然暗示了定理的陈述。
为了显示索赔，让D=2n+5
。然后D
是奇怪的，积极的， coprime与B
并划分A2−4B=(2n−3)(2n+5)3
。 如果p
是一个奇数素数除法B
,然后n≡−3模块p
所以−D≡1模块p
。 方程Bx2−Dy2=z2
有解决方案(x,y,z)=(1,4,4)
, 所以希尔伯特符号(B,−D)p=1
对于所有素数p
。 我们将展示:
如果(ξ,η)∈E′n(Q)
与ξ≠0
,然后 (ξ,−D)p=1
对于所有素数p
。
鉴于此，希尔伯特符号的乘积公式意味着 (ξ,−D)∞=1
所以ξ>0
(自−D<0
)。
请注意(ξ,−D)p=(ξ2+Aξ+B,−D)p
。 我们首先考虑奇数p
。我们注意到，当ξ
不是一个p
-adic 整数，然后ξ
必须是一个p
-adic广场，所以(ξ,−D)p=1
。 所以我们可以假设ξ∈Zp
。有三个案例。
p
既不划分B
也没有D
。如果ξ∈Z×p
, 然后(ξ,−D)p=1
,因为这两个条目都是p
-adic单位。 否则，(ξ,−D)p=(ξ2+Aξ+B,−D)p=(B,−D)p=1
。
p
划分B
。然后−D≡1模块p
,所以−D
是一个p
-adic 广场，因此(ξ,−D)p=1
。
p
划分D
。然后x2+Ax+B≡(x+A/2)2模块p
。 所以如果ξ∈Z×p
,然后ξ
必须是一个正方形 模块p
,和(ξ,−D)p=1
。如果ξ
可被整除p
, 然后像以前一样，(ξ,−D)p=(ξ2+Aξ+B,−D)p=(B,−D)p=1
。
它仍然需要考虑p=2
。如果n≡1模块4
,然后 −D≡1模块8
,所以(ξ,−D)2=1
对于所有ξ
。 如果n≡3模块4
,然后−D≡5模块8
,所以 (ξ,−D)2=(−1)v2(ξ)
,我们必须证明 2-adic估值ξ
一定是偶数。请注意，在此 案例v2(B)=6
和A≡−3模块8
。 如果v2(ξ)
是奇怪的，那么正好是 三个术语ξ3
,Aξ2
,Bξ
具有最小的2-adic 估值，它必须是偶数，所以它不能是第一个或 第三个任期。这减少了我们ν:=v2(ξ)∈{1,3,5}
。 然后很容易地检查 ξ(ξ2+Aξ+B)=4νu
与u≡−1模块4
当ν=1
或5
和u≡−3模块8
当ν=3
。 在所有情况下，u
不能是一个正方形，所以点与 x
-坐标ξ
不能存在。证明到此结束。
请注意，当n
甚至，我们有−D≡3模块4
也 v2(B)=5
,所以我们失去了对2-adic希尔伯特符号的控制。
这是这个答案的前一个版本，我离开这里， 因为它可能包含一些兴趣点。
方程ab+c+bc+a+ca+b=n
产生椭圆曲线
En:a3+b3+c3+abc−(n−1)(a+b)(b+c)(c+a)=0。
你在这条曲线上要求有理点 (这样a+b,b+c,c+a≠0
)。 对于奇数正数n
直到并包括17，这是一条曲线 等级为零 (有6个有理点)，而对于n=19
它的等级为1。 因此E19
有无限多个有理点，你的方程 有无限多的解决方案n=19
。我来做计算 明确地找到一个。
编辑:正如杰里米·罗泽在下面的评论中指出的那样，积分 解决方案n=19
不是积极的。更确切地说，真正的 点数En(右)
形成两个相连的分量 (判别式 的En
是正的)，并且它是非身份组件 包含所有坐标为正的点 (作为标识 六点之一，如(1:−1:0)
或(1:1:−1)
)。所以问题是 是否有奇数n
这样就有一个理性的观点 非恒等式; 那么有理点将是密集的 在这个组件上，所以会有积极的解决方案。到目前为止， 没有这样的n
出现了，尽管有很多这样的En
具有正等级。
进一步编辑:我怀疑真的没有什么奇怪的n>0
这样的En
在非身份组件上有合理的观点。 检查这个任何给定的一种方法n
是做 (一半) 2-isogeny下降onEn
。这产生了许多曲线 的形式Cu:y2=ux4+vx2+w
在哪里v=4n(n+3)−3
和uw=32(n+3)
是未分支的双封面En
。 我们考虑曲线Cu
对所有完成都有积分 Q
。那么每一个理性的观点En
是一个图像 其中一条曲线上的有理点Cu
。做计算， 获得一组曲线Cu
这一切都有u>0
(这是 只是实验性的; 我检查了一下n
高达9999)。但是如果u>0
, 然后 [Cu
只有一个真正的组件-这是错误的，但是 以下是OK] 的图像Cu(右)
在En(右)
是标识组件，因此不能有 另一个组件上的合理点。我的感觉是可能有 Brauer-manin对理性点存在的阻碍 odd的非标识组件n
,但是我没有足够的时间 检查这个。一种可能的方法是注意到
E′n:y2=x(x2+(4n(n+3)−3)x+32(n+3))
是同构的En
。如果我们能找到一个正整数d(n)
这样对于所有的理性点(ξ,η)∈E′n(Q)
(与ξ≠0
) 产品∏p(ξ,−d(n))p
关于希尔伯特 符号 (在所有有限的地方) 总是+1
,然后索赔 从希尔伯特符号的乘积公式和 (ξ,−d(n))∞=−1
用于ξ<0
。
成功:对于奇数n≥3
,d(n)=2n−3
作品。可以检查一下 (ξ,3−2n)p=1
对于所有素数p
。细节稍后 (时间越来越晚)。 事实上，d(n)=−5−2n
工作得更好。见上文。
请注意，即使n
,通常有Cu
与u<0
当En
具有正等级 (第一个异常似乎是n=40
)。所以我会 预计brauer-manin阻塞是由两者之间的相互作用引起的 p=2
和无限的地方。
用于n=4
,曲线的等级也为1，这解释了存在 的解决方案。我会试着检查是否有比这更小的 你给的。
编辑:给定的解决方案实际上是最小的 (正) 解决方案。下一个更大的 一个有167到168位数字。
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已编辑2017年3月25日20:14
GH来自MO的用户头像
来自MO的GH
108k88金徽章302302银色徽章410410青铜徽章
已回答2016年1月5日18:19
Michael Stoll的用户头像
迈克尔·斯托尔
11.3k22金徽章4646银色徽章6060枚青铜徽章
9
OP正在请求a
,b
和c
为正，这似乎对应于Weierstrass模型的非身份组件上的点En
。我不认为有这样的点n=19
。
-
杰里米·鲁斯
已评论2016年1月5日18:20
1
好的，谢谢; 我忽略了积极性要求。我会看更大的n
...
-
迈克尔·斯托尔
已评论2016年1月5日18:27
20
这一定是数论中最容易陈述 (也是最吸引人!) 的问题之一，其解决方案 “需要” brauer-manin阻塞。非常酷!
-
R.P.
已评论2016年1月5日在23:26
3
@ GHfromMO你实际上应该停止阅读第一水平线; 下面是我的一些增量的想法，导致在线上详细说明的解决方案。为了获得同构，人们改变坐标，使得其中一个拐点在无穷大处，并且该点处的切线是无穷大处的线 (这在这里起作用，由于存在一个合理的拐点; 一般来说，仍然存在一个具有Weierstrass形式的曲线的同构，但它更复杂)...
-
迈克尔·斯托尔
已评论2017年3月25日18:11
3
@ GHfromMO (续) 在具体情况下，通过设置给出同构x=4(n+3)(a+b+2c)/(c−(n+2)(a+b))
和y=(8n2+44n+60)(a−b)/(c−(n+2)(a+b))
(根据岩浆)。
-
迈克尔·斯托尔
已评论2017年3月25日18:14
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85
这个确切的问题是Andrew Bremner (ASU) 和我本人的论文 “一个不寻常的立方表示问题” 的主题。它发表在Annales Mathematicae et Informaticae的第43卷 (2014年)，第29-41页。
事实证明，严格的正解永远不存在n
很奇怪.他们有时不存在n
甚至，而且，即使他们这样做，他们可以真正巨大的规模-比给出的例子大得多。
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已回答2016年1月6日在7:13
Allan MacLeod的用户头像
艾伦·麦克劳德
1,54911枚金色徽章99银色徽章66枚青铜徽章
2
酷毙了.你是怎么考虑这个问题的？
-
迈克尔·斯托尔
已评论2016年1月6日在8:57
6
我在Andrew和Richard Guy以前的工作风格中遇到了几个立方表示问题。数值结果很吸引人，所以我把最初的工作发给了安德鲁，他很快就证明了奇怪的结果。n
。
-
艾伦·麦克劳德
已评论2016年1月6日9:35
3
添加指向讨论案例的YouTube视频的链接n=4
:youtube.com/watch？v= Ct3lCfgJV_A
-
康拉德
已评论2021年12月19日在4:18
页:
[1]
2