一个极值问题
已知正数a,b,c满足a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=k, n为正实数,求P(n)=a^n/(b^n+c^n)+b^n/(a^n+c^n)+c^n/(a^n+b^n)的最大值和最小值?
注:由a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=(a+b+c)^2/(2*(a*b+a*c+b*c))>=3/2知k>=3/2 Tourish给出n=2时的结果
1.若 k>=2,则P(2)_min=k^2-2
若2>=k>=3/2,则P(2)_min=(-90+112*k-64*k^3+32*k^4+(6-28*k+40*k^2-16*k^3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(8*(4*k^2-8*k+5))
2. 若k>=3/2,则P(2)_max=(-90+112*k-64*k^3+32*k^4-(6-28*k+40*k^2-16*k^3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(8*(4*k^2-8*k+5)) n=2 时，结果表达式都这么复杂啊。。。 其实当三个数a,b,c中有两个数相等时
即a=b=t ,可以得到 c=t*(2*k-1+-sqrt(4*k^2+4*k-15))/2
我们可以得到:
1.若 2>=k>=3/2
P(n)_min=1/2*(4*(-1)^n*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n+16^n*(k-2)^(2*n)*(-1)^(-n)*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^(-n))/((-1)^n*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n)
2.若k>=3/2
P(n)_max=1/2*(4*(-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n+(-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^(-n)*(4*k-8)^(2*n))/((-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n)
当n=2时,我们便可以得到2#的答案
P(2)_min=1/4*(16*k^4-32*k^3-45+56*k+(20*k^2-14*k-8*k^3+3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(4*k^2-8*k+5)
P(2)_max=1/4*(16*k^4-32*k^3-45+56*k-(20*k^2-14*k-8*k^3+3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(4*k^2-8*k+5) 够复杂的
页:
[1]