论坛 › 算法交流 › 特殊角的三角函数值

liangbch 发表于 2012-2-3 13:58:25

上面的公式和原始的Mathematica得到的不同，对每个公式，我均做了仔细的化简，其主要考虑是方便计算。因为平方根运算复杂度高于除法，而除法运算的复杂度高于乘法，所以，尽量减少根式，并消去分母中的根式。同时，基于一致性考虑，对这些公式中多项式的各项的顺序进行调整，使各个公式的样式非常相似。
以上所有的公式，仅仅用到以下9个根式，所有其他公式，均可通过这些根式的加减乘法以及根式和整数的四则运算得到。
$sqrt(2)$,$sqrt(3)$,$sqrt(5)$,$sqrt(10+2sqrt(5))$,$sqrt(10-2sqrt(5))$,$sqrt(30+6sqrt(5))$,$sqrt(30-6sqrt(5))$,$sqrt(5-sqrt(5))$,$sqrt(5+sqrt(5))$

zeroieme 发表于 2012-2-3 16:59:49

所有尺规能作出的正多边型

liangbch 发表于 2012-2-7 16:27:00

3#的另一种形式：
表一 每隔15度的正弦函数值

x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
15
ToRadicals]
$(sqrt(6)-sqrt(2))/4$
30
ToRadicals]
$1/2$
45
ToRadicals]
$sqrt(2)/2$
60
ToRadicals]
$sqrt(3)/2$75
ToRadicals]
$(sqrt(6)+sqrt(2))/4$

liangbch 发表于 2012-2-7 16:38:29

4#的另一种形式：
表2 — 每隔18度的正弦
x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
18
ToRadicals]
$(sqrt(5)-1)/4$
36
ToRadicals]
$(sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5)))/4$
54
ToRadicals]
$(sqrt(5)+1)/4$
72
ToRadicals]
$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5)))/4$

liangbch 发表于 2012-2-7 16:39:59

5楼的另一种形式：
表3 — 每隔6度的正弦

x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
6
ToRadicals]
$(sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))-sqrt(5)-1)/8$
12
ToRadicals]
$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
24
ToRadicals]
$(-sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
42
ToRadicals]
$(sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(5)+1)/8$
48
ToRadicals]
$(sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
66
ToRadicals]
$(sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(5)+1)/8$
78
ToRadicals]
$(sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(5)-1)/8$
84
ToRadicals]
$(sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
注：18，30，36，54，60，72的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

liangbch 发表于 2012-2-7 16:48:42

6楼的另一种形式：

表3 — 每隔3度的正弦

X(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
3
ToRadicals]
$-(sqrt(5+sqrt(5))*(sqrt(3)-1))/8+((sqrt(6)+sqrt(2))*(sqrt(5)-1))/16$
9
ToRadicals]
$-sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
21
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5))*(sqrt(3)+1))/8-((sqrt(6)-sqrt(2))*(sqrt(5)+1))/16$
27
ToRadicals]
$sqrt(5+sqrt(5))/4-( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
33
ToRadicals]
$( sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$
39
ToRadicals]
$-(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8+((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
51
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5)) (sqrt(3)+1))/8+((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
57
ToRadicals]
$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8-((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$
63
ToRadicals]
$sqrt(5+sqrt(5))/4+( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
69
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +((sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1))/16$
81
ToRadicals]
$sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
87
ToRadicals]
$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8 +((sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1))/16$
注：6,12,15,18,24,30,36,42,45,48,54,60,66,72,75的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

liangbch 发表于 2012-2-7 16:59:44

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-7 18:36 编辑

13# -16#，总共29个公式中，总共用到6次浮点平方根运算,16次浮点乘法，以及若干次浮点加减法。

所有6个浮点平方根如下：
$sqrt(2)$,
$sqrt(3)$,
$sqrt(5)$,
$sqrt(6)$,
$sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(5-sqrt(5))$

所有16个浮点乘如下：
$sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))$,
$sqrt(2)sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(6)sqrt(5-sqrt(5))$,
$sqrt(6)sqrt(5+sqrt(5))$,
$sqrt(2)(sqrt(5)-1)$,
$sqrt(2)(sqrt(5)+1)$,
$sqrt(3)(sqrt(5)-1)$,
$sqrt(3)(sqrt(5)+1)$,
$sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1)$,
$sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)+1)$,
$sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1)$,
$sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1)$,
$(sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)-1)$,
$(sqrt(6)-sqrt(2))(sqrt(5)+1)$,
$(sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)-1)$,
$(sqrt(6)+sqrt(2))(sqrt(5)+1)$,

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