linear 发表于 2012-3-15 13:03:42

判断cosnx/n级数的敛散性

求帮助。。。。
   原题如下：判断cosnx/n级数的敛散性。x在区间（0,2π）。

mathe 发表于 2012-3-15 13:21:30

这个是数学分析书上的习题吧

linear 发表于 2012-3-15 13:53:47

嗯，

mathe 发表于 2012-3-15 16:40:54

记得有结论
正项级数$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$单调减，趋向0
级数$\sum_{n=1}^{+\infty}b_n$部分和有界，那么$\sum_{n=1}^{+infty}a_nb_n$收敛，这个可以用Abel求和来处理

linear 发表于 2012-3-15 21:54:56

可是怎样才能说明cosnx有界呢？

mathe 发表于 2012-3-16 08:30:05

是$\sum_{n=1}^m \cos{nx}$有界，这是一个不算太难的初等数学问题

wayne 发表于 2012-3-18 11:16:42

当 x为[4k*Pi,(4k+2)*Pi )(k为整数)时， 级数收敛。级数和是-ln(2*sin(x/2))
否则，发散。

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方法：
将cos(nx) 转化成复指数，然后在复域洛朗级数合并，化简，
答案就出来了。
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