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pgmjudy 发表于 2012-4-18 11:11:28

求解题,跪谢

P0是面积为1的等边3角形,将P0的每个边3等分切去三角形的三个角,形成一个多边形P1,请问P1的面积为多少?重复前面的将P1的各边3等分切角获得一个新的多边形P2,求P2面积，如此反复一直到图形P∞，请求P∞的面积

hujunhua 发表于 2012-4-18 13:14:29

累死了，正好做个题解解乏。

记$C_n$为第n次割掉部分的面积，$C_n=2/9 C_{n-1}$, $C_1=1/3$

mathe 发表于 2012-4-18 13:25:15

直觉$P_{\infty}$应该正好是三角形的内切圆，不过hujunhua的方法显然不会出现$pi$,到底哪里有问题？

mathe 发表于 2012-4-18 13:28:53

第二次切割后就不是正多边形了，所以不是圆，这个极限图形是什么形状呢？

wayne 发表于 2012-4-18 13:57:20

Koch曲线呀
记得好像是2002年的 全国高中数学联赛 试题

mathe 发表于 2012-4-18 14:00:41

这个可不是Koch曲线，那是分形，这个可是一条凸的闭合曲线

wayne 发表于 2012-4-18 14:14:55

恩，我错了，没仔细想象那个场景，稍微计算了一下，不知对不对

1-\sum_{n=2}^{+infty}3*2^{n-2}*(1/3)^{2n-2}=4/7

BeerRabbit 发表于 2012-4-18 20:00:07

每个多边形各个边的中点都会保留在之后的所有多边形中，并且还将作为所在边的中点.

2L大牛的解法应该是：
记第n次切掉的某个三角K的面积为s，那么在第n+1切割时，在K的两边的小三角形面积和很容易算出是2×1/9s=2/9s.

从而最终的面积为：

数学星空 发表于 2012-4-18 23:53:36

最有趣的是4#的问题。。。。。
其实就是算出每次迭代的不动点集构成的曲线。
不知有没有好的计算方法来确定这条曲线。

wayne 发表于 2012-4-19 00:19:34

可以编程序产生顶点集合，迭代到最后的顶点集合就是不动点集合

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