庄家亏本的买大小游戏
庄家按照如下方式为玩家开出“大”和“小”：==========
首先生成一个长度为n+1的序列：a_1、a_2、……、a_{n+1}。
该序列中的每一个数都是独立的、在$0$到$1$之间均匀分布的随机实数。
然后比较$a_i$和$a_{i+1}$的大小。
如果$a_{i+1}>a_i$，则开“大”，否则开“小”。
依次取$i=1,2,...,n$，一共开出$n$个“大”或“小”。
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玩家最初有$1$单位的钱。
然后进行$n$次压注。
每次压注都可以自己决定压多少钱，压“大”还是压“小”。
所压的钱数不得大于自己当前拥有的钱数。
如果压对了，则玩家收回压注额，庄家另赔$1$倍压注额给玩家。
如果压错了，所压的钱就归庄家了。
玩家希望$n$轮之后自己的钱数达到$S$的概率至少为$50%$，并且采取最佳策略使得$S$尽可能大。
问：$S$的最大值是多少？
例$1$：
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当$n=1$时，直接全压即可。
玩家的钱数达到$2$的概率为$50%$。
所以当$n=1$时，$S$的最大值为$2$。
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例$2$：
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当$n=2$时，第$1$轮不压。
如果第$1$轮开出“大”，那么第$2$轮全压“小”，否则全压“大”。
于是玩家的钱数达到$2$的概率为$2/3$，大于$50%$。
但是如果玩家想让钱数大于$2$，则无法以$50%$以上的概率达成。
所以当$n=2$时，$S$的最大值为$2$。
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例$3$：
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当$n=3$时，第$1$轮用$1/3$的本金压“大”。
如果第$1$轮开出“大”，那么第$2$轮不压，第$3$轮全压与第$2$轮相反的大小，压中后钱数可增至$8/3$，压中概率为$2/3$。
如果第$1$轮开出“小”，那么第$2$轮和第$3$轮均全压相反的大小，都压中后钱数亦可增至$8/3$，都压中的概率为$5/12$。
于是玩家的钱数达到$8/3$的概率为$13/24$，大于$50%$。
但是如果玩家想让钱数大于$8/3$，则无法以$50%$以上的概率达成。
所以当$n=3$时，$S$的最大值为$8/3$。
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对于较大的$n$，情况比较复杂。
不知道结果是否有近似公式。 我把这道题做成了一个游戏，玩法如下图所示：
下载这个附件，解压后就可以玩这个游戏了：
注意，游戏不会结束，除非玩家按【关闭】按钮。
该游戏的目标是最大化平均每轮的资金上涨倍数。
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认真玩了$256$轮，结果如下：
用了$256$轮把资金刷到了$8$亿，平均每轮增长$1.08346246$倍。
还可以增长得更快一点吗？
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