haizhou 发表于 2012-7-13 13:11:39

求使方差最小的点

在平面中给定n个点，求一点此点到这n个点的距离的方差最小

hujunhua 发表于 2012-7-14 01:06:27

就是这n个点的几何中心，即n个质点（视为等重）的重心。

nnd 发表于 2012-7-14 18:16:13

写个方程，求导。呵呵。

mathematica 发表于 2012-7-16 08:27:39

就是这n个点的几何中心，即n个质点（视为等重）的重心。
hujunhua 发表于 2012-7-14 01:06 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

你说的是距离的平方和的最小值,但是他说的是距离的方差!

wayne 发表于 2012-7-16 12:16:29

4# mathematica
:)
mathematica真细心.
如果是距离的方差最小,那么,答案很显然是无穷远处.
==================
应该怪楼主问题的表述很混乱

mathematica 发表于 2012-7-16 12:38:57

4# mathematica
:)
mathematica真细心.
如果是距离的方差最小,那么,答案很显然是无穷远处.
==================
应该怪楼主问题的表述很混乱
wayne 发表于 2012-7-16 12:16 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

天才呀?我也在想这个问题,但是就是没有想到无穷远这个答案,
那什么时候是方差最大的情况呢??????

wayne 发表于 2012-7-16 15:57:24

6# mathematica
这个点应该就在点集当中. 极端的边缘的那个点.

nnd 发表于 2012-7-16 19:54:31

我觉得不是无穷远处。

比如当n=3，三个点是某个三角形的三个顶点时，在三角形外切圆的圆心上，方差为零。

而此时，当所求的点趋于无穷远时，方差的极限的最小值并不为0.

wayne 发表于 2012-7-16 23:29:49

8# nnd

根据nnd的思路,推广言之.
方差最小的点就是 使得最多的点在圆上的那个圆心.

弱一点就是,使得所有的点 都在圆弧上,或者都十分接近圆弧的的那个圆的圆心

mathe 发表于 2012-7-17 11:07:15

这个问题看来很难有一般的结论。不过我猜猜方差最大时还是可以在无穷远处取到。
我们可以考虑n个点排在一条直线上的特殊情况，那么对于这种情况，垂直这条直线上的无穷远处可以取到方差最小值0，而这条直线上充分远的点上可以取到方差最大值
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