dianyancao 发表于 2012-7-16 01:23:14

如下的带约束多重累加和是否能用组合数表示？

\sum_{i_1=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{0}i_j}\;\sum_{i_2=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{1}i_j}\;\sum_{i_3=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{2}i_j}\bullet\bullet\bullet\sum_{i_n=1}^{k-1-\sum_{j=1}^{n-1}i_j}1=C_{k-1}}^{n}=\frac{(k-1)!}{n!*(k-1-n)!}
上述的简化是正确的吗？

dianyancao 发表于 2012-7-16 01:30:52

dianyancao 发表于 2012-7-17 01:55:39

RE: 如下的带约束多重累加和是否能用组合数表示？

s = Sum
ss = (k - 1 + n)!/k!/(n - 1)!
Factor
Factor
n = 100
k = 33
Print
Print

(-1 + k + n)!/((1 + n) k! (-2 + n)!) + (
2 (-1 + k + n)!)/((1 + n) k! (-1 + n)!)

(-1 + k + n)!/(k! (-1 + n)!)

((2 (-2 + n)! + (-1 + n)!) (-1 + k + n)!)/((1 +
   n) k! (-2 + n)! (-1 + n)!)

(-1 + k + n)!/(k! (-1 + n)!)

100

33

13799045330820153260842076806000

13799045330820153260842076806000

(2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)! /(1 + n)

1
ss求的是：
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/6/a/36a89e26d57424db96749aac1c739e1f.png
Mathematica 不能化简最后一个表达式，其实(2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)! /(1 + n)恒等于1

第一个s手工需要怎么推导呢？

zgg___ 发表于 2012-7-17 12:16:03

FullSimplify[(2 (-2 + n)! + (-1 + n)!)/(-2 + n)!/(1 + n)]

dianyancao 发表于 2012-7-18 23:57:26

好吧，虽然我推导不出来，
但左右两边都是算n个元素里取k个元素，元素允许重复，有多少种组合，所以是相等的
所以直接记住这个结果了，看以后的知识能否推导，啊…
Sum==(k - 1 + n)!/k!/(n - 1)!

dianyancao 发表于 2012-7-19 00:54:03

gxqcn 发表于 2012-7-19 08:28:58

也许可以编个故事，用不同的角度去看同一个排列组合问题，从而证明它恒等。

dianyancao 发表于 2012-7-20 02:08:20

:)
下面是思路，不知是否正确？
箭头的上部分依赖于下部分推导，已得出对于k的一个值，只要令n=k，若满足上述条件
则任意n和该k值，都能使得上式成立，但k是变量，所以接下来必须证明对于任意k，n=k时上述条件成立即可。
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