KeyTo9_Fans 发表于 2012-8-13 13:48:56

已知两个矩阵的积，能否求出这两个矩阵？

矩阵$A=[(a_11,a_12),(a_21,a_22),(a_31,a_32),(a_41,a_42)]$，$B=[(b_11,b_12,b_13,b_14),(b_21,b_22,b_23,b_24)]$，

矩阵$C=AB=[(c_11,c_12,c_13,c_14),(c_21,c_22,c_23,c_24),(c_31,c_32,c_33,c_34),(c_41,c_42,c_43,c_44)]$。

现在矩阵$C$的$16$个元素已知，矩阵$A$和$B$各$8$个元素未知。

由于我们有$C=AB$，因此可以列出$16$个方程。

问：能否通过这$16$个方程解出矩阵$A$和$B$（即$16$个未知数）？

hujunhua 发表于 2012-8-13 17:49:51

解不出来。C的秩严重不足。

KeyTo9_Fans 发表于 2012-8-13 20:33:30

$C$的秩差了多少？$A$和$B$的元素至少需要知道几个，才能把剩下的元素全部确定下来？

hujunhua 发表于 2012-8-14 01:34:34

至少差了一半，积之秩不大于各因子之秩。
A、B中需要已知的元素数量应该与位置有关，最少应已知4个。

wayne 发表于 2012-8-14 10:23:34

A、B 的秩至多为2.
所以C的秩也 至多为2.
也就是说, fans所列出的16个方程 至多仅有2个方程是有效的.
这样严重不足

mathe 发表于 2012-8-15 06:20:52

这个好像不能完全用秩判断，如果给定A前面2x2子阵并且可逆，B就完全确定，再由此A确定。

mathe 发表于 2012-8-15 06:26:47

我们不妨设C前两行满秩，给出8条方程，后两行都可写成前两行线性组合，提供两数就确定余下数，所以每行通常只提供两有效方程，共12条方程。所以通常给定4个数就可以了

KeyTo9_Fans 发表于 2012-8-15 10:17:48

mathe的结论是对的。

我编了一个C++程序来解这些方程。

输入是$C$，输出是$A$和$B$，满足$C=AB$。

结果表明$A$和$B$不唯一。

如果固定$A$或$B$的$4$个元素，就可以得到唯一解。

接下来继续试了一下$L\times L$的$C$、$L\times 2$的$A$及$2\times L$的$B$。

当$L=4,5,6,...$时，结论都是一样的：

如果固定$A$或$B$的$4$个元素，就可以得到唯一解。

mathematica 发表于 2012-8-23 13:50:07

敢问这个问题的背景是什么？？？？？？？

mathematica 发表于 2012-8-23 13:53:05

说出来了背景，估计 就能更吸引人！
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