等式求证
证明：设
f(x)=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}C_n^ix^i}{i}
则
f(0)=0
f'(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}C_n^ix^{i-1}
=1/(-x)\sum_{i=1}^n(-1)^iC_n^ix^i
=1/(-x)(sum_{i=0}^nC_n^i(-x)^i-1)
=\frac{(1-x)^n-1}{(1-x)-1}
=\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^i
所以
f(x)=C+\int\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^idx
=C-\sum_{i=0}^{n-1}\int(1-x)^id(1-x)
=C-\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^{i+1}/(i+1)
=C-\sum_{i=1}^n(1-x)^i/i
由
f(0)=0
求得待定系数
C=\sum_{i=1}^n1/i
所以
\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}C_n^i}{i}=f(1)=\sum_{i=1}^n1/i 也可以
$a(n)=\sum_{i=1}^n {(-1)^(i+1)C_n^i}/i=\sum_{i=1}^n {(-1)^(i+1)(C_{n-1}^i+C_{n-1}^(i-1))}/i$
所以
$a(n)=a(n-1)+\sum_{i=1}^n{(-1)^(i+1)*(n-1)!}/{(n-i)!(i-1)!i}=a(n-1)+1/n\sum_{i=1}^n(-1)^(i+1)*C_n^i=a(n-1)+1/n$
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