一维空间中的吃豆子问题
假设有一条长度为1的线段，左端点是x=0，右端点是x=1。线段上有k个豆子，wayne在这条线段上移动。
有趣的问题，形象的描述。下图是一个$k=1$的例子;P
一旦wayne的$x$坐标与某个豆子的$x$坐标相等，wayne就会把这个豆子吃掉。
一旦wayne把一个豆子吃掉，一个新的豆子就会立即出现在$$区间中均匀分布的一个随机的点上。
wayne的移动速度是每秒$1$单位长度。
wayne可以随时改变移动方向。
wayne总是采取最佳策略，使得吃豆子的平均速率最大。
于是当$k=0$时，wayne吃豆子的平均速率是$0$个每秒；
当$k=1$时，wayne吃豆子的平均速率是$3$个每秒。
问题$1$：当$k=2$时，wayne吃豆子的平均速率是多少？
问题$2$：当$k=3$时，wayne吃豆子的平均速率是多少？
问题$3$：当$k=4$时，wayne吃豆子的平均速率是多少？:lol 问题转化为求 \sum_{i=1}^{k}|x_i -x_{i+1}|的期望值， xi在【0，1】内均匀分布
猜想：3/k 2# wayne
$k=1$当然没问题咯，豆子在哪边wayne就往哪边跑。
可是当$k>1$时就没那么简单了，
wayne经常要思考“到底先吃哪边的豆子才能使得吃豆子的平均速率最大呢？”
如下图所示;P
如果wayne总是吃最近的那个豆子，
那么当$k=2$时，模拟到$10^11$个豆子，结果是……
wayne吃豆子的平均速率是$(4.53704\pm 0.00002)$个每秒。
可是wayne绝顶聪明，不一定总是吃最近的那个豆子，
所以当$k=2$时，wayne吃豆子的平均速率要大于$4.53702$个每秒。
具体大多少，就得知道wayne采取的最佳策略是什么了*_* 我题意没读懂。
是不是任何时候都有k个豆子存在？
另外，wayne最初的位置fans安排在哪呢？ 是的。任何时候都有$k$个豆子存在。
这是因为：
“一旦wayne把一个豆子吃掉，一个新的豆子就会立即出现在$$区间中均匀分布的一个随机的点上。”
wayne最初的位置在哪里都不要紧。
这是因为wayne永远都在这条线段上移动。
当给定时间$t$时，wayne吃豆子的平均速率是${n(t)}/t$，
其中$n(t)$是wayne在$t$时间内所吃的豆子数。
所以无论wayne最初的位置在哪里，
$\lim_{t->\infty}{n(t)}/t$的值都是一样的;P 5# KeyTo9_Fans
这个假设的"wayne绝顶聪明" 太假了。
过去，现在，将来，...................
过去的状态决定了当前的wayne身处何处，
但将来的状态，即在吃完一个豆子的那一刻，新的豆子将在哪产生，wayne是无法预测的，
用自动控制领域的术语来讲，这里没有反馈因素，是开环控制。
于是， 于是，wayne只能利用现有的位置和当前k个豆子的分布来作为当前决策的依据，
所以，wayne的决策方案 似乎只能是
假设不会产生新豆子，要以最快的速度吃掉当前所有的k个豆子，应该先吃哪个 5# KeyTo9_Fans
fans是不是看到我的头像用的是一只可爱的鸟儿，才故意这么出题为难我的，对么？
:*-^ 6# wayne
一旦wayne把一个豆子吃掉，一个新的豆子就会立即出现在【0，1】区间中均匀分布的一个随机的点上。
这个条件该怎么加到当前的决策中去呢 当$k=2$时，wayne的策略可以用一个$3$元的布尔函数$f$来描述。
$f$的输入是$x_1$，$x_2$，$x_w$。
其中，$x_1$和$x_2$表示豆子的位置，$x_w$表示wayne的位置。
$f$的输出是一个方向，“左”或者“右”。
函数$f$确定之后，wayne的策略也就确定了。
于是我们就可以对wayne的策略进行评价了。
评价的方法如下：
取一个足够大的$t$，然后任取一个开始状态，
然后把wayne和豆子的位置作为函数$f$的输入，
根据$f$的输出来决定wayne下一步吃哪个豆子。
我们用$n(t)$来表示wayne在$t$时间内所吃的豆子数。
${n(t)}/t$越大，说明wayne的策略越好，${n(t)}/t$越小，说明wayne的策略越差。
如果我们对所有可能的函数$f$都模拟过一遍，我们就知道wayne的最佳策略是什么了。 所以。。。所以。。。
$6#$的话都有道理，wayne只能利用现有的位置和当前$k$个豆子的分布来作为当前决策的依据。
只是。。。只是。。。
“当$t$给定，吃豆子数$n(t)$尽可能大”并不意味着“要以最快的速度吃掉当前所有的$k$个豆子”。
我“假设wayne绝顶聪明”，只是假设wayne已经对所有可能的函数$f$的评价结果都了如指掌了，并没有假设wayne可以预测出下一个豆子出现在哪些地方:loveliness: