四等分点
1.在三角形中是否总能找到一点J，过J点作两条互相垂直的直线L_1,L_2将三角形面积四等分？（三角形边长可设为a,b,c）进一步当两条直线L_1与L_2的夹角为alpha时，若存在四等分三角形的J点，请找出alpha应满足的条件？
2.对于凸四边形若存在四等分四边形的J点，请找出alpha应满足的条件？（四边长可设为a,b,c,d）
注：对于alpha我们总取L_1与L_2之间较小的那个角，即0<alpha<=pi/2 1.在三角形中是否总能找到一点J，过J点作两条互相垂直的直线L1,L2将三角形面积四等分？
这个可以证明肯定是存在的。
用两根直线旋转，必定在某个时候垂直的思路是可以证明的。 我转了半天都转晕了。 两根直线旋转,确实容易晕。我自己都被转晕了。
可以用一根直线旋转，然后让他的垂线滑动。
等腰三角形是好解决的，如上图，假设 ∠A<∠B<∠C,AD是三角形的中线。EF是AD的垂线且S1=(1/4)S,其中S为三角形的面积.显然由∠B<∠C有S1<S2。
将AD顺时针旋转，满足AD将三角形二等分，设旋转后为A'D',A'D'的垂线E'F'满足S1'=(1/4)S，
当A'D'旋转至平行于AB时，不难证明S1'>S2'.
证毕.
对于等腰三角形，我们很容易算出J点，x=(1-1/sqrt(2))*h_a=(1-1/sqrt(2))*(2*S)/a
对于其它三角形(a>b>c），我们可以得到方程
((b-x)*w*sin(A))/2=S/2...........................(1)
((b-y)*z*sin(C))/2=S/2...........................(2)
w^2+y^2-2*w*y*cos(A)+x^2+z^2-2*x*z*cos(C)=(b-x-y)^2+(c-w)^2+(a-z)^2-2*(c-w)*(a-z)*cos(B) ...........................(3)
(x_1*x_2)/2=S/4...........................(4)
x_1^2+x_2^2=(b-x-y)^2...........................(5)
(sqrt(w^2+(b-x)^2-2*w*(b-x)*cos(A))-x_2)^2+x_1^2=w^2+y^2-2*w*y*cos(A) ...........................(6)
由以上六个方程可以得到：x,y,z,w进而得到J的位置。
注：S为三角形ABC 的面积，x_1=GJ,x_2=JE,x=EC,y=AG,z=FC,w=AD 对平面直角坐标系内的任意卵形线，总可以通过旋转和平移卵形线，使得坐标轴四等分卵形线所围的面积。
1. 对于一个给定的卵形线G和给定的直线方向 t，在 t 方向存在唯一的一条直线平分G所围成的面积.
2. 如图，对平面直角坐标系XOY内的任意卵形线G，存在唯一的平移变换m,使得m(G)被坐标轴所分的四个象限的面积，成立S1=S3, S2=S4。
3. 将一条射线 t 固定在卵形线上作为卵形线的方向， 就设 t 的方向角为 t(0≤t<2π)。那么S1(或S3), S2( 或S4)都是 t 的函数，记为S1(t), S2(t).
4. 易知S1(t)和S2(t) 都是连续函数，并且S1(t+π/2)=S2(t). 因此至少存在一个角度α∈[0,π/2), 使得S1(α)=S2(α). 7# hujunhua
看得有点云里雾里。
前面三条没问题。第四条没看明白。怎样保证S1=S2的同时，满足S1=S3呢？
我知道你功力深厚，清明节回湖北，洒家请你吃酒如何？:lol 云里雾里？7#的表述确实有点偷懒，其中第4条所选的参照系也不够直观，将参照系对换一下更为浅显。
图1，卵形线G被一个X轴处于水平位置、正向朝东的直角坐标架XOY分成面积对角相等的四部分；此时O点位置为O(0).
图2，坐标架旋转角度t 并适当平移，以保持对角面积相等，即S1(t)=S3(t), S2(t)=S4(t);当 t 递增时，即坐标架连续旋转时，为保持面积对角相等，原点O必须同时适当平移，所以O会画出一条轨迹O(t)。
图3，当坐标架旋转角度t=π/2时，为保持面积对角相等，O点将回到O(0)的位置，即O(π/2)=O(0). 这时坐标架十字与t=0时的位置重合，故S1(π/2)=S2(0), S2(π/2)=S3(0)=S1(0), S3(π/2)=S4(0)=S2(0), S4(π/2)=S1(0).
所以S1(t),S2(t)的曲线如图4所示，可见两曲线至少有一个交点(α，s/4).
如果不限制t的范围，S1(t)和S2 (t)都是周期为π的周期函数，两者形状相同，只不过存在一个π/2 的相位差。
S3(t)与S1(t)重合，S4(t)与S2(t)重合。