六边形幻方
如图所示，http://mymma.googlecode.com/files/%E5%85%AD%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%B9%BB%E6%96%B9.jpg
填入1-19（不重不漏）的数字，使得图中所有连成直线的圆圈之和相等 http://kyzx.dgjy.net/sx/Print.asp?ArticleID=32961
里面的图$12$，不是很清晰，将就着看吧～
151310
14 8 412
9 6 5 216
11 1 719
1817 3
在主贴的“相关贴子”列表中，左列第5条“本来想发个幻方的贴子的，……”， 其4#的跟贴中给出了上述六角形幻方。其中还讨论了更大的六角形幻方的一个必要条件，被郭老板化简为(2n-1)|(n2+1). 这个条件可以进一步化简：
n2+1≡0（mod 2n-1）←→4n2+4≡0（mod 2n-1）←→(2n+1)(2n-1)+5≡0（mod 2n-1）←→5≡0（mod 2n-1）→n=1, 3 五阶亚当斯六角幻方，已被证明是唯一；
加之上面的推导，更是唯一中的唯一！（n=1情形没有实际价值） 19个变量，13个独立约束，可以得到一个6维的参数解：
xi=xi（x1,x2,x3,x4,x5,x6）,（i=7~19）
（x1,x2,x3,x4,x5,x6）,（i=7~19）取自6个无约束关系的格。
于是可以如下编程（穷举）：
m=Range={1,2,3,...,19}
table=Subsets（19个数取6个的排列表）
依次取table中的每个排列，赋予（x1,x2,x3,x4,x5,x6）来计算xi（i=7~19），然后检查所得是否为Range。
我的电脑运行不了这样的程序，因为表table的长度超过我安装的Mathematica9的机器数。
上述6参数解我以前曾得到过优化解，但没记录下来。 5# hujunhua
我解出来的包含7个参数，
Block[{var = Table, {i, 19}]},
Solve[{x1 + x2 + x3 == k,
x4 + x5 + x6 + x7 == k,
x8 + x9 + x10 + x11 + x12 == k,
x13 + x14 + x15 + x16 == k,
x17 + x18 + x19 == k,
x1 + x4 + x8 == k,
x2 + x5 + x9 + x13 == k,
x3 + x6 + x10 + x14 + x17 == k,
x7 + x11 + x15 + x18 == k,
x12 + x16 + x19 == k,
x3 + x7 + x12 == k,
x2 + x6 + x11 + x16 == k,
x1 + x5 + x10 + x15 + x19 == k,
x4 + x9 + x14 + x18 == k,
x8 + x13 + x17 == k,
Total == (1/2 n (n + 1) /. n -> 19)
}, var~Join~{k}, Integers,
GeneratedParameters -> (Symbol@
FromCharacterCode &)]][][]
你的k也是变量？ 亚当斯的这个六角幻方确实让我很惊奇，所以以前研究幻方时也拆过它。我曾将填入数变成
{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
使幻方变成零和幻方。为了简化推导，我令中心数为0，对称于中心的格取相反数，结果很容易得到了
8 3 5
9 7 4 6
1 2 0 2 1
6 4 7 9
5 3 8
其中红色表负数。 但是我没有试过中心非零、不对称的解，我猜想应该不存在。
这种零和幻方的好处在于突破了3#的限制，可以编制更大的六角幻方。不过我并没有试图编排出来一个，也没估计过计算量，4阶应该还可以计算的。 与亚当斯的独生子不同，负对称零和幻方有多解（貌似共12个本原解）。
4 1 3
5 7 8 6
9 2 0 2 9
6 8 7 5
3 1 4