关于一般四次曲线与椭圆曲线的关系
我现在特别好奇, 对于一般binary quartic 形式的四次曲线$y^2=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$,其中$a,e$都不是平方数.如何双有理变换到椭圆曲线的 Weierstrass 形式. (对于$e$是平方数的情况,还是很容易变换的. 对于$a$是平方数的情况,可以做变换$X=\frac{1}{x}$,就同此理了)
就是说,在不知道 是否 存在有理点的背景下,如何分析其结构.
搜了一圈,好像涉及到Jacobi形式,以及2-Descent, 4-Descent之类.
比如,我们就以 $y^2= f(x) =18422369 x^4-81234596 x^3+29670080 x^2+102943032 x-193447548$ 为例, 这个其实在之前的帖子$u=-\frac{5}{44}$的时候得到的方程.
根据之前的讨论, 我们知道$y^2-f(x)=0$ 存在无数个有理点, 其高度最小的解是 $f(\frac{57878913}{12642040})=(\frac{5531870046610133823}{159821175361600})^2$,
https://mathoverflow.net/questions/239746/birationally-transforming-a-quartic-elliptic-curve 找到一篇文章, 提到了 binary quartic 形式的方程有有理点的概率是 75.96%
https://arxiv.org/pdf/2004.12085
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