和Fibonacci相关的化简问题
http://andrejv.wordpress.com/2010/02/11/fibonacci-numbers/不方便翻墙的看这里http://chyanog.iteye.com/blog/1858532
上述链接里的maxima代码比Mathematica快的多，不知道mathematica代码能否进一步优化呢?fibRatio := FullSimplify, {i, 0, a}]/Fibonacci]
Select}, {a, 1, 10}, {b, 1, a}], 1], IntegerQ[#[]] &]
那是因为FullSimplify的时候没有告诉软件 n 是什么类型的数fibRatio:=FullSimplify,{i,0,a}]/Fibonacci,Element&&n>0];
Select},{a,1,20},{b,1,a}],1],IntegerQ[#[]]&]
不负所望，返回全部结果，速度也不算慢：
{{2, 2, 2}, {5, 4, 4}, {9, 6, 11}, {13, 8, 29}, {17, 10, 76}} 跑了一下100的情况：
{2,2,2}
{5,4,4}
{9,6,11}
{13,8,29}
{17,10,76}
{21,12,199}
{25,14,521}
{29,16,1364}
{33,18,3571}
{37,20,9349}
{41,22,24476}
{45,24,64079}
{49,26,167761}
{53,28,439204}
{57,30,1149851}
{61,32,3010349}
{65,34,7881196}
{69,36,20633239}
{73,38,54018521}
{77,40,141422324}
{81,42,370248451}
{85,44,969323029}
{89,46,2537720636}
{93,48,6643838879}
{97,50,17393796001}
有点意思，除了第一组{2,2,2}外，规律是很明显的:
\sum_{k=0}^{4m-3}F_{n+k} =C_mF_{n+2m}，m，n 为任意正整数。
其中C_m=F_{2m-2}+F_{2m-4}，也即是A093960数列：
在整数序列大全上找到了条目：
http://oeis.org/A093960
特例：n=0，m=1时，即是F数列的定义形式F0+F1=F2 后来我也找到两个相对快点的方法，同时也发现Mathematica9的化简速度比7、8大概慢了一半：
fibRatio := FunctionExpand, {i, 0, a}]/Fibonacci,
Element]
Select}, {a, 1, 20}, {b, 1, a}],
IntegerQ@Last@# &] // AbsoluteTimingClear["`*"];
fibRatio := (2^(-1 - a +b) (-2^a (1 - Sqrt)^(1 + n) - (1 - Sqrt)^(a + n) (-3 + Sqrt) + (1 + Sqrt)^
n (2^a (1 + Sqrt) - (1 + Sqrt)^a (3 + Sqrt))))/((1 - Sqrt)^(b + n) - (1 + Sqrt)^(b + n));
Select // Cancel}, {a, 1, 20}, {b, 1, a}],
IntegerQ[#[]] &] // AbsoluteTiming
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