hujunhua 发表于 2025-8-24 11:11:28

哥德巴赫偶数链

素数和1统称为非合数。
假定扩展的哥德巴赫猜想是成立的：任一偶数可以表为两个非合数之和。
{2, 4, 6, ..., 2n}的一个排列${\text{even}_1,\text{even}_2, \text{even}_3, \ldots, \text{even}_n}$称为一个哥德巴赫偶数链, 使得$\text{even}_i=p_i+p_{i+1},(i=1,2,\ldots,n)$. 这里$p_#$为非合数。
如果更进一步，有`p_{n+1}=p_1`, 则称为哥德巴赫偶数环。
例如：
n=2, {2, 4}={1+1,1+3}
n=3, {2,4,6}={1+1,1+3, 3+3}，{4,2,6}={3+1,1+1,1+5}
n=4, {2,4,6,8}={1+1,1+3, 3+3, 3+5}, {4,2,6,8}={3+1,1+1,1+5,5+3}(成环), {6,4,2,8}={3+3, 3+1, 1+1,1+7}

对于给定的 n, 以a(n)表示最多的哥德巴赫偶数链，求a(n).
去重规则1：互逆排列视为同一个链。
去重规则2：互逆排列视为同一个链，成环排列视为同一个链。
问：
1、a(n)序列中会不会出现 0 ？
2、n>3时，总有环链吗？求环链数 b(n).

mathe 发表于 2025-8-24 16:38:30


以n=5为例子，如图5所示, 以奇非合数为顶点，任意两个顶点如果和不大于2n=10, 就连接一条边，边的权重即为这个和。
可见权重为 2 和 4 的只有一条边，权重为 6, 8, 10的都有两条边。
我们需要选择一个子图，正好包含这权重(2,4,6,8,10)的边各一条，于是可有1·1·2·2·2=8个子图。
如图1~图4，图6~图9所示，其中虚线边表示未被选中。

然后判断各子图中是否存在欧拉路径或欧拉回路，这个可以使用两个性质
i) 奇度顶点的数目≤2？根据这个可以淘汰图3和图7。(红色框线的为奇度顶点）
ii) 需要连通图，根据这个可以淘汰掉子图4.
图2和图8奇度顶点数目为0，可以构成回路。图1、图6和图9 奇度顶点为2，只能构成开的欧拉路径。
最后对留下的每个合法图枚举不同路径数目即可，其中图1有4条，图2和图8各一条回路，图6有2条，图9有1条。
所以 a(5)=9

hujunhua 发表于 2025-8-25 03:12:48

哥德巴赫偶数链 n=6 的关联图

wayne 发表于 2025-8-25 22:40:21

n=1,2,3,6,7,10,11,14,15的时候没有环。

n=16, 有3545200个环，排除逆向对称，那也有一半，就是1772600个环
更多的计算结果戳链接：
https://nestwhile.com/res/emath/50034/

我给出较小的解
n=4
{1->5,5->3,3->1,1->1}
{1->3,3->5,5->1,1->1}
n=5
{1->7,7->3,3->3,3->1,1->1}
{1->5,5->5,5->3,3->1,1->1}
{1->3,3->5,5->5,5->1,1->1}
{1->3,3->3,3->7,7->1,1->1}
n=8
{1->13,13->3,3->7,7->5,5->3,3->3,3->1,1->1}
{1->13,13->3,3->5,5->7,7->3,3->3,3->1,1->1}
{1->7,7->5,5->5,5->11,11->3,3->3,3->1,1->1}
{1->13,13->3,3->3,3->7,7->5,5->3,3->1,1->1}
{1->5,5->11,11->3,3->7,7->5,5->3,3->1,1->1}
{1->5,5->7,7->3,3->11,11->5,5->3,3->1,1->1}
{1->13,13->3,3->3,3->5,5->7,7->3,3->1,1->1}
{1->5,5->11,11->3,3->5,5->7,7->3,3->1,1->1}
{1->5,5->3,3->11,11->5,5->7,7->3,3->1,1->1}
{1->11,11->5,5->1,1->7,7->7,7->3,3->1,1->1}
{1->5,5->11,11->1,1->7,7->7,7->3,3->1,1->1}
{1->5,5->7,7->3,3->5,5->11,11->3,3->1,1->1}
{1->5,5->3,3->7,7->5,5->11,11->3,3->1,1->1}
{1->7,7->5,5->5,5->1,1->13,13->3,3->1,1->1}
{1->5,5->5,5->7,7->1,1->13,13->3,3->1,1->1}
{1->3,3->11,11->5,5->7,7->3,3->5,5->1,1->1}
{1->3,3->7,7->5,5->11,11->3,3->5,5->1,1->1}
{1->13,13->3,3->1,1->7,7->5,5->5,5->1,1->1}
{1->3,3->13,13->1,1->7,7->5,5->5,5->1,1->1}
{1->3,3->11,11->5,5->3,3->7,7->5,5->1,1->1}
{1->3,3->5,5->11,11->3,3->7,7->5,5->1,1->1}
{1->7,7->7,7->3,3->1,1->11,11->5,5->1,1->1}
{1->3,3->7,7->7,7->1,1->11,11->5,5->1,1->1}
{1->3,3->7,7->5,5->3,3->11,11->5,5->1,1->1}
{1->3,3->5,5->7,7->3,3->11,11->5,5->1,1->1}
{1->13,13->3,3->1,1->5,5->5,5->7,7->1,1->1}
{1->3,3->13,13->1,1->5,5->5,5->7,7->1,1->1}
{1->3,3->3,3->11,11->5,5->5,5->7,7->1,1->1}
{1->11,11->5,5->1,1->3,3->7,7->7,7->1,1->1}
{1->5,5->11,11->1,1->3,3->7,7->7,7->1,1->1}
{1->7,7->7,7->3,3->1,1->5,5->11,11->1,1->1}
{1->3,3->7,7->7,7->1,1->5,5->11,11->1,1->1}
{1->7,7->5,5->5,5->1,1->3,3->13,13->1,1->1}
{1->5,5->5,5->7,7->1,1->3,3->13,13->1,1->1}
{1->3,3->7,7->5,5->3,3->3,3->13,13->1,1->1}
{1->3,3->5,5->7,7->3,3->3,3->13,13->1,1->1}
{1->3,3->3,3->7,7->5,5->3,3->13,13->1,1->1}
{1->3,3->3,3->5,5->7,7->3,3->13,13->1,1->1}

wayne 发表于 2025-8-25 23:10:34

我也画个图。
GraphPlot[
Table[Labeled[v,
   v[] + v[]], {v, {1 -> 11, 11 -> 5, 5 -> 1, 1 -> 3, 3 -> 7,
    7 -> 7, 7 -> 1, 1 -> 17, 17 -> 3, 3 -> 19, 19 -> 5, 5 -> 23,
    23 -> 3, 3 -> 29, 29 -> 1, 1 -> 1}}],
VertexLabels -> Placed["Name", Center], VertexSize -> 0.5,
DirectedEdges -> True]

n=8的时候

n=16的时候

hujunhua 发表于 2025-8-26 12:53:41

@wayne 计算到16, 显示 n=4k, 4k+1时有环。但是我觉得这不会是普遍规律，事关素数，不可能这么简单、规整。

wayne 发表于 2025-8-27 09:38:16

并不是我只关心环。而是环的对称性更好，计数少。
那我就重新跑一下，计算到了16. 所有统计如下。
{1,0,1}
{2,2,0}
{3,4,0}
{4,4,2}
{5,14,4}
{6,94,0}
{7,344,0}
{8,796,38}
{9,3600,190}
{10,22264,0}
{11,96488,0}
{12,492760,13664}
{13,2160376,51152}
{14,10782400,0}
{15,82683968,0}
{16,244257008,3545200}

解释一下，比如{8,796,38}， n=8的时候，有796个链(未对链条的方向去重，去重可能就是除以2)。38个环(只对循环移位去重，未针对对链条的方向去重，去重可能就是除以2)

wayne 发表于 2025-8-27 10:25:43

n=5的解
0,1,{{1->1,1->3,3->3,3->5,5->5},{{1,3},{3,4},{5,3}}}
1,1,{{1->1,1->3,3->3,3->7,7->1},{{1,4},{3,4},{7,2}}}
1,2,{{1->1,1->3,3->5,5->5,5->1},{{1,4},{3,2},{5,4}}}
0,2,{{1->1,1->3,3->7,7->1,1->5},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
1,3,{{1->1,1->5,5->5,5->3,3->1},{{1,4},{3,2},{5,4}}}
0,3,{{1->1,1->7,7->3,3->1,1->5},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
1,4,{{1->1,1->7,7->3,3->3,3->1},{{1,4},{3,4},{7,2}}}
0,4,{{1->3,3->7,7->1,1->1,1->5},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,5,{{3->1,1->1,1->5,5->3,3->7},{{1,4},{3,3},{5,2},{7,1}}}
0,6,{{5->1,1->1,1->3,3->7,7->1},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,7,{{5->1,1->1,1->7,7->3,3->1},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,8,{{5->1,1->3,3->7,7->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,9,{{5->1,1->7,7->3,3->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,10,{{1->7,7->3,3->1,1->1,1->5},{{1,5},{3,2},{5,1},{7,2}}}
0,11,{{3->5,5->1,1->1,1->3,3->7},{{1,4},{3,3},{5,2},{7,1}}}
0,12,{{5->5,5->3,3->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,4},{5,3}}}
0,13,{{7->3,3->1,1->1,1->5,5->3},{{1,4},{3,3},{5,2},{7,1}}}
0,14,{{7->3,3->5,5->1,1->1,1->3},{{1,4},{3,3},{5,2},{7,1}}}


n=6的解

0,1,{{1->1,1->3,3->3,3->5,5->5,5->7},{{1,3},{3,4},{5,4},{7,1}}}
0,2,{{1->1,1->3,3->3,3->5,5->7,7->3},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,3,{{1->1,1->3,3->3,3->7,7->1,1->11},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,4,{{1->1,1->3,3->3,3->7,7->5,5->3},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,5,{{1->1,1->3,3->5,5->5,5->1,1->11},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,6,{{1->1,1->3,3->5,5->7,7->3,3->3},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,7,{{1->1,1->3,3->7,7->1,1->5,5->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,8,{{1->1,1->3,3->7,7->5,5->1,1->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,9,{{1->1,1->3,3->7,7->5,5->3,3->3},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,10,{{1->1,1->5,5->5,5->3,3->1,1->11},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,11,{{1->1,1->5,5->5,5->7,7->1,1->3},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,12,{{1->1,1->5,5->7,7->1,1->3,3->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,13,{{1->1,1->5,5->7,7->3,3->1,1->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,14,{{1->1,1->7,7->3,3->1,1->5,5->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,15,{{1->1,1->7,7->3,3->3,3->1,1->11},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,16,{{1->1,1->7,7->5,5->1,1->3,3->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,17,{{1->1,1->7,7->5,5->5,5->1,1->3},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,18,{{1->3,3->3,3->7,7->1,1->1,1->11},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,19,{{1->3,3->5,5->5,5->1,1->1,1->11},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,20,{{1->3,3->7,7->1,1->1,1->5,5->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,21,{{1->3,3->7,7->5,5->1,1->1,1->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,22,{{3->1,1->1,1->5,5->3,3->7,7->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,23,{{3->1,1->1,1->5,5->5,5->7,7->1},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,24,{{3->1,1->1,1->5,5->7,7->3,3->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,25,{{3->1,1->1,1->7,7->5,5->5,5->1},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,26,{{3->1,1->5,5->5,5->7,7->1,1->1},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,27,{{3->1,1->7,7->5,5->5,5->1,1->1},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,28,{{1->5,5->5,5->3,3->1,1->1,1->11},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,29,{{1->5,5->5,5->7,7->1,1->1,1->3},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,30,{{1->5,5->7,7->1,1->1,1->3,3->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,31,{{1->5,5->7,7->3,3->1,1->1,1->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,32,{{3->3,3->1,1->1,1->7,7->5,5->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,33,{{3->3,3->5,5->7,7->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,34,{{3->3,3->7,7->5,5->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,35,{{5->1,1->1,1->3,3->5,5->5,5->7},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,36,{{5->1,1->1,1->3,3->5,5->7,7->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,37,{{5->1,1->1,1->3,3->7,7->1,1->11},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,38,{{5->1,1->1,1->3,3->7,7->5,5->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,39,{{5->1,1->1,1->7,7->3,3->1,1->11},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,40,{{5->1,1->3,3->7,7->1,1->1,1->11},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,41,{{5->1,1->7,7->3,3->1,1->1,1->11},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,42,{{1->7,7->3,3->1,1->1,1->5,5->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,43,{{1->7,7->3,3->3,3->1,1->1,1->11},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,44,{{1->7,7->5,5->1,1->1,1->3,3->7},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,45,{{1->7,7->5,5->5,5->1,1->1,1->3},{{1,5},{3,1},{5,4},{7,2}}}
0,46,{{3->5,5->1,1->1,1->3,3->7,7->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,47,{{3->5,5->7,7->3,3->1,1->1,1->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,48,{{3->5,5->7,7->3,3->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,49,{{5->3,3->1,1->1,1->5,5->5,5->7},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,50,{{5->3,3->1,1->1,1->5,5->7,7->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,51,{{5->3,3->7,7->5,5->1,1->1,1->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,52,{{7->1,1->1,1->3,3->3,3->7,7->5},{{1,4},{3,4},{5,1},{7,3}}}
0,53,{{7->1,1->1,1->3,3->7,7->5,5->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,54,{{7->1,1->1,1->5,5->7,7->3,3->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,55,{{7->1,1->3,3->7,7->5,5->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,56,{{7->1,1->5,5->7,7->3,3->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,57,{{3->7,7->5,5->1,1->1,1->3,3->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,58,{{3->7,7->5,5->3,3->1,1->1,1->5},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,59,{{3->7,7->5,5->3,3->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,5},{5,2},{7,2}}}
0,60,{{5->5,5->1,1->1,1->3,3->5,5->7},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,61,{{5->5,5->3,3->1,1->1,1->5,5->7},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,62,{{5->5,5->3,3->3,3->1,1->1,1->11},{{1,4},{3,4},{5,3},{11,1}}}
0,63,{{5->5,5->7,7->1,1->1,1->3,3->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,64,{{7->3,3->1,1->1,1->5,5->7,7->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,65,{{7->3,3->1,1->1,1->7,7->5,5->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,66,{{7->3,3->1,1->5,5->7,7->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,67,{{7->3,3->1,1->7,7->5,5->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,68,{{7->3,3->3,3->1,1->1,1->7,7->5},{{1,4},{3,4},{5,1},{7,3}}}
0,69,{{5->7,7->1,1->1,1->3,3->3,3->7},{{1,4},{3,4},{5,1},{7,3}}}
0,70,{{5->7,7->3,3->1,1->1,1->5,5->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,71,{{5->7,7->3,3->3,3->1,1->1,1->7},{{1,4},{3,4},{5,1},{7,3}}}
0,72,{{5->7,7->3,3->5,5->1,1->1,1->3},{{1,4},{3,3},{5,3},{7,2}}}
0,73,{{7->5,5->1,1->1,1->3,3->5,5->5},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,74,{{7->5,5->1,1->1,1->3,3->7,7->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,75,{{7->5,5->1,1->1,1->7,7->3,3->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,76,{{7->5,5->1,1->3,3->7,7->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,77,{{7->5,5->1,1->7,7->3,3->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,2},{7,3}}}
0,78,{{7->5,5->3,3->1,1->1,1->5,5->5},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,79,{{7->5,5->5,5->1,1->1,1->3,3->5},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,80,{{7->5,5->5,5->3,3->1,1->1,1->5},{{1,4},{3,2},{5,5},{7,1}}}
0,81,{{7->5,5->5,5->3,3->3,3->1,1->1},{{1,3},{3,4},{5,4},{7,1}}}
0,82,{{11->1,1->1,1->3,3->3,3->5,5->5},{{1,4},{3,4},{5,3},{11,1}}}
0,83,{{11->1,1->1,1->3,3->3,3->7,7->1},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,84,{{11->1,1->1,1->3,3->5,5->5,5->1},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,85,{{11->1,1->1,1->3,3->7,7->1,1->5},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,86,{{11->1,1->1,1->5,5->5,5->3,3->1},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,87,{{11->1,1->1,1->7,7->3,3->1,1->5},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,88,{{11->1,1->1,1->7,7->3,3->3,3->1},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,89,{{11->1,1->3,3->3,3->7,7->1,1->1},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}
0,90,{{11->1,1->3,3->5,5->5,5->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,91,{{11->1,1->3,3->7,7->1,1->1,1->5},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,92,{{11->1,1->5,5->5,5->3,3->1,1->1},{{1,5},{3,2},{5,4},{11,1}}}
0,93,{{11->1,1->7,7->3,3->1,1->1,1->5},{{1,6},{3,2},{5,1},{7,2},{11,1}}}
0,94,{{11->1,1->7,7->3,3->3,3->1,1->1},{{1,5},{3,4},{7,2},{11,1}}}

hujunhua 发表于 2025-8-27 11:39:54

按现在的计算结果，去重规则2， a(n)=1,1,2,3,9,47,172,417,1895,11132,48244, 253212, 1105764, 5391200, 41341984, 123901104, ...
OEIS上还没有这个序列，前6项就没有了。

或许别人研究基于原版哥德巴赫猜想，只有素数没有1呢？试了一下，
a(1)=1, {6}={3+3}
a(2)=1, {6, 8}={3+3, 3+5}
a(3)=2, {6, 8, 10}={3+3, 3+5, 5+5}, {8,6,10}={5+3, 3+3, 3+7}
a(4)=2, {6, 8, 10, 12}={{3+3, 3+5, 5+5, 5+7}, {8,6,10,12}={5+3, 3+3, 3+7, 7+5}(成环）
a(5)=7, {6, 8, 10, 12, 14}={3+3, 3+5, 5+5, 5+7, 7+7}, ...
a(6)=27, {16, 6, 8, 10, 12, 14}={13+3, 3+3, 3+5, 5+5, 5+7, 7+7}, ...
以下是 n=5, 6的图


结果{1,1,2,2,7,27}也没有OEIS序列。

hujunhua 发表于 2025-8-27 22:52:25

纯素数的编程画图倒也简单省事。
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