iseemu2009 发表于 2025-9-11 09:26:22

求紧密排列等圆的最大数目

一道有趣的几何题目,见图片

northwolves 发表于 2025-9-11 13:42:28

挤一挤感觉能放164-165个,我晚上也算算看

hujunhua 发表于 2025-9-11 21:14:53

考虑到空隙,满算应该按圆的外切正六边形。
`S_2=2\sqrt3`, 所以粗糙的上限为$(200π)/(2\sqrt3)=181$.
球装问题是一个经典难题。

一个看起来很精致的问题是“一个中心球外最多能围(相切)多少个与之同样大小的球”。1694 年,苏格兰数学家大卫・格雷戈里(David Gregory)与牛顿(Isaac Newton)讨论天体运动问题时,提出了该问题。牛顿认为最多能有 12 个球与中心球相切,而格雷戈里则持不同意见。直到 1953 年,舒特和范德瓦尔登证明了第 13 个球总会与已有的球发生重叠,从而证实了牛顿的观点。

aimisiyou 发表于 2025-9-11 22:25:21

等圆packing问题吧

王守恩 发表于 2025-9-12 13:37:50

类似的问题——圆内点 packing 问题。记小圆半径=1。大圆半径=n。在半径为 n 的圆内, 最多能放置多少个点, 使得任意两点距离至少为2。
大圆半径=1:放1个
大圆半径=2:放2个
大圆半径=3:放7个
大圆半径=4:放11个
大圆半径=5:放19个
大圆半径=6:放27个
大圆半径=7:放38个
大圆半径=8:放50个
大圆半径=9:放64个
大圆半径=10:放80个
大圆半径=11:放98个
大圆半径=12:放118个
A023393——Maximal number of circles of radius 1 that can be packed in a circle of radius n.——0, 1, 2, 7, 11, 19, 27, 38, 50, 64, 80, 98, 118——最大是118。

iseemu2009 发表于 2025-9-12 20:32:35

给大家提出一些想法看是否可行:
    1、椭圆半长轴为 20,半短轴为 10,所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆内部排列最多的圆,那么这些圆只能在椭圆的内部,当然可以与椭圆相切。那么把椭圆向内部均匀偏移距离 1,如图中红色椭圆所示。那么所有圆的圆心必须在红色椭圆内部或椭圆上。如图一所示。
    2、由于要求容纳最多的圆,那么所有的圆一定是紧密排列的,它们必然呈蜂巢形状,图二展示了这些蜂巢状排列各圆的圆心布置。
    3、然后把图二的圆心阵列重叠到图一的红色椭圆中,通过微调圆心阵列,如沿椭圆的中心上下移一点,或左右移一点,或旋转一点,必然存在一个位置此时红色椭圆内的圆心最多,那么这个数字就是问题的解。

aimisiyou 发表于 2025-9-13 09:01:28

iseemu2009 发表于 2025-9-12 20:32
给大家提出一些想法看是否可行:
    1、椭圆半长轴为 20,半短轴为 10,所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆 ...

想法不对,受边界轮廓限制。

iseemu2009 发表于 2025-9-13 10:15:15

iseemu2009 发表于 2025-9-12 20:32
给大家提出一些想法看是否可行:
    1、椭圆半长轴为 20,半短轴为 10,所有圆半径均为 1。由于要求在椭圆 ...

就是因为受椭圆边界限制,所以要微调圆心阵列位置,使红色椭圆内的点最多即可。
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