以下级数可以算出精确值吗
$\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=?$ $\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}ln(\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{e})=\frac{1}{2} ln(\frac{2}{\pi})$ northwolves 发表于 2025-9-16 22:29$\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}ln(\frac{(1+\f ...
你的结果很接近，图片算的近似值，跟你结果还是存在偏差 1+Log[(2^(1/6) Sqrt[\])/Glaisher^6] Ickiverar 发表于 2025-9-18 22:43
这个怎么得到？可以写写吗？ 这个题目关键还是如何高精度计算，比如我们可以把原始级数改写为
\(\frac12\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}-\frac13\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2})=\frac{\ln(2)}2-\frac{\pi^2}{36}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2})\)
那么这时计算收敛速度就比较快了，比如无穷求和式只计算前面10000位可以得到
0.19536261081519376，
就算10001位可以得到
0.19536261081544366
可以看出有12位计算精度
我们还可以继续改进，比如改写为
\(\frac{\ln(2)}2-\frac{\zeta(2)(1-2^{-1})}3+\frac{\zeta(3)(1-2^{-2})}4-\frac{\zeta(4)(1-2^{-3})}5+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac1{4n^3}-\frac1{5n^4})\)
可以得到计算10000项结果为
0.19536261081531873002356
计算10001项结果为
0.19536261081531873002523
就有20位计算精度了
pizza49 发表于 2025-9-19 07:39
这个怎么得到？可以写写吗？
其实我只是把这个级数两项合一项变成正项级数，然后塞进Mathematica就直接出来了，我也不知道怎么算的 将原级数分成奇级数 \(n=2k-1\) 和偶级数 \(n=2k\)，其中 \(k=1,\cdots, \infty\) ：
\(\text{sodd}(k)=(2k-1)\ln\left(1+\frac{1}{2k-1}\right)-1\)
\(\text{seven}(k)=2k\ln\left(1+\frac{1}{2k}\right)-1\)
sodd := (2 k - 1) Log - 1
seven := 2 k Log - 1
\(\D\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}\left=\sum_{k=1}^{+\infty } [\text{seven}(k)-\text{sodd}(k)]=1+\ln\left(\frac{2^{1/6}\sqrt{\pi}}{\text{Glaisher}^6}\right)\)
其中：\(\text{Glaisher} =1.2824271291006226369\) 为格莱舍常数。
result = Sum - sodd, {k, 1, \}]
FullSimplify
级数和的精确值为：0.19536261081531873002440106779620826058534581350649
N Jack315 发表于 2025-9-20 08:31
将原级数分成奇级数 \(n=2k-1\) 和偶级数 \(n=2k\)，其中 \(k=1,\cdots, \infty\) ：
\(\text{sodd}(k)=(2k ...
出了这常数 大概能猜到了咋整了
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