OEIS—A290743—看不懂

王守恩

A290743——Maximum number of distinct Lyndon factors that can appear in words of length n over an alphabet of size 2.
A290743——在大小为 2 的字母表上, 长度为 n 的单词中可以出现的不同林顿因子的最大数量。
2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308, 326, 344, 363, 382, 402, 422, 443, 464, 486, 508,

问题(1)。A290743——在大小为 2 的字母表上, 长度为 n 的单词中可以出现的不同林顿因子的最大数量。
我们用a,b表示大小为 2 的字母。
a(1)=2, {a, b},
a(2)=3, {aa, ab, bb}
a(3)=4, {aaa, aab, abb, bbb}
a(4)=6, {aaaa, aaab, aabb, abab, abbb, bbbb}
a(5)=8, {aaaaa, aaaab, aaabb, aabab, aabbb, ababb, abbbb, bbbbb}
a(6)=11,{},
a(7)=14,{},
a(8)=18,{},
上面的理解是错误的。正确的答案是什么？？？

问题(2)。 2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308, 326, 344, 363, 382, 402, 422, 443, 464, 486, 508,
通项公式——Table[Floor[n^2/4] + 2, {n, 65}]——题目没看懂, 通项公式应该也是错的。

northwolves

a(2)=3, {"01", {0,1,01}
a(3)=4, {"001",{0,1,01,001}}
a(4)=6, {"0011",{0,1,01,001,011,0011}}
a(5)=8, {"00011",{0,1,01,001,011,0001,0011,00011}}
a(6)=11,{"000111",{0,1,01,001,011,0001,0011,0111,00011,00111,000111}}

northwolves

通项公式——Table[Floor[n^2/4] + 2, {n, 65}]——题目没看懂, 通项公式应该也是错的。
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通项公式没毛病

王守恩

northwolves 发表于 2026-2-26 10:48
通项公式——Table[Floor[n^2/4] + 2, {n, 65}]——题目没看懂, 通项公式应该也是错的。
----------------- ...

2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308, 326, 344, 363, 382, 402, 422, 443, 464, 486, 508,

这串数应该对应这样一道题。

在正方形内部——

画1条直线, 最多可以有2对45度角。
画2条直线, 最多可以有4对45度角。
画3条直线, 最多可以有6对45度角。
画4条直线, 最多可以有8对45度角。
画5条直线, 最多可以有11对45度角。
画6条直线, 最多可以有14对45度角。
画7条直线, 最多可以有18对45度角。
画8条直线, 最多可以有22对45度角。

心里还是在犹豫不定。

northwolves

王守恩 发表于 2026-2-26 11:50
2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 15 ...

A002620

王守恩

northwolves 发表于 2026-2-26 12:41
A002620

A002620——1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196, 210, 225, 240, 256, 272, 289, 306, 324, 342, 361, 380, 400, 420, 441, 462,

在一个平面上——

画2条直线, 最多可以有1对45度角。
画3条直线, 最多可以有2对45度角。
画4条直线, 最多可以有4对45度角。
画5条直线, 最多可以有6对45度角。
画6条直线, 最多可以有9对45度角。
画7条直线, 最多可以有12对45度角。
画8条直线, 最多可以有16对45度角。
画9条直线, 最多可以有20对45度角。

王守恩

A002620——1, 2, 4, 6, 09, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196, 210, 225, 240, 256, 272, 289, 306——Table[Floor[n^2/4], {n, 60}]
A290743——3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308——Table[Floor[n^2/4] + 2, {n, 60}]

在一个平面上——
画2条直线, 最多可以有1对45度角。
画3条直线, 最多可以有2对45度角。
画4条直线, 最多可以有4对45度角。
画5条直线, 最多可以有6对45度角。
画6条直线, 最多可以有9对45度角。
画7条直线, 最多可以有12对45度角。
画8条直线, 最多可以有16对45度角。
画9条直线, 最多可以有20对45度角。

在正方形内部——
画1条直线, 最多可以有2对45度角。
画2条直线, 最多可以有4对45度角。
画3条直线, 最多可以有6对45度角。
画4条直线, 最多可以有8对45度角。
画5条直线, 最多可以有11对45度角。
画6条直线, 最多可以有14对45度角。
画7条直线, 最多可以有18对45度角。
画8条直线, 最多可以有22对45度角。

“Lyndon”——“王牌单词”——“王牌碎片”
a(2)=3, {"01", {0, 1, 01}}
a(3)=4, {"001", {0, 1, 01, 001}}——"001" = “王牌单词”——{0, 1, 01, 001}=“王牌碎片”。
a(4)=6, {"0011", {0, 1, 01, 001, 011, 0011}}
a(5)=8, {"00011", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 00011}}
a(6)=11,{"000111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00011, 00111, 000111}}
a(7)=14,{"0000111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 000011, 000111, 0000111}}
a(8)=18,{"00001111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 01111, 000011, 000111, 001111, 0000111, 0001111, 00001111}}
a(9)=22,{"000001111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 01111, 000001, 000011, 000111, 001111, 0000011, 0000111, 0001111, 00000111, 00001111, 000001111}}

王守恩

3道题一起拓展。

在一个平面上——画n条直线, 最多可以有A(n)对60度角。

在正六边形内部——画n条直线, 最多可以有B(n)对60度角。

在大小为 3 的字母表上, 长度为n的单词中可以出现的不同林顿因子的最大数量C(n)。

王守恩

A290743——Maximum number of distinct Lyndon factors that can appear in words of length n over an alphabet of size 2.
A290743——在大小为 2 的字母表上, 长度为 n 的单词中可以出现的不同林顿因子的最大数量。
S=2,基本解。 2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308, 326, 344, 363, 382, 402, 422, 443, 464, 486, 508,

圆满解决——"在大小为 S 的字母表上, 长度为 n 的单词中可以出现的不同林顿因子的最大数量"问题。——问题分2块:  1,S=n,基本解。2,S=n,具体解(具体的"王牌单词”与具体的“王牌碎片”)。

S=2,基本解。{1, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 18, 22, 27, 32, 38, 44, 51, 58, 66, 74, 83, 92, 102, 112, 123, 134, 146, 158, 171, 184, 198, 212, 227, 242, 258, 274, 291, 308, 326, 344, 363, 382, 402, 422, 443, 464, 486, 508, 531, 554, 578, 602, 627},
S=3,基本解。{1, 3, 6, 8, 11, 15, 19, 24, 30, 36, 43, 51, 59, 68, 78, 88, 99, 111, 123, 136, 150, 164, 179, 195, 211, 228, 246, 264, 283, 303, 323, 344, 366, 388, 411, 435, 459, 484, 510, 536, 563, 591, 619, 648, 678, 708, 739, 771, 803, 836},
S=4,基本解。{1, 3, 6, 10, 13, 17, 22, 28, 34, 41, 49, 58, 67, 77, 88, 100, 112, 125, 139, 154, 169, 185, 202, 220, 238, 257, 277, 298, 319, 341, 364, 388, 412, 437, 463, 490, 517, 545, 574, 604, 634, 665, 697, 730, 763, 797, 832, 868, 904, 941},
S=5,基本解。{1, 3, 6, 10, 15, 19, 24, 30, 37, 45, 53, 62, 72, 83, 95, 107, 120, 134, 149, 165, 181, 198, 216, 235, 255, 275, 296, 318, 341, 365, 389, 414, 440, 467, 495, 523, 552, 582, 613, 645, 677, 710, 744, 779, 815, 851, 888, 926, 965, 1005}}
\(\cdots\cdots\)

1. Table[(n (n + 1) - (s*Floor[n/s] + 2 Mod[n, s]) Floor[(n + s)/s] + 2 s + 2 (n - s) Floor[Ramp[(2 s - n)/s]])/2, {s, 2, 5}, {n, 50}]————————绝妙的通项公式！！！！！

复制代码

S=2,具体解。
a(1)=1, {"0", {0}}——a(1)=1, {"0", {0}}——这样理解,后面数据出来就流畅了。
a(2)=3, {"01", {0, 1, 01}}
a(3)=4, {"001", {0, 1, 01, 001}}——"001" =“Lyndon”= “王牌单词”——{0, 1, 01, 001}=“王牌碎片”。
a(4)=6, {"0011", {0, 1, 01, 001, 011, 0011}}
a(5)=8, {"00011", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 00011}}
a(6)=11, {"000111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00011, 00111, 000111}}
a(7)=14, {"0000111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 000011, 000111, 0000111}}
a(8)=18, {"00001111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 01111, 000011, 000111, 001111, 0000111, 0001111, 00001111}}
a(9)=22, {"000001111", {0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00111, 01111, 000001, 000011, 000111, 001111, 0000011, 0000111, 0001111, 00000111, 00001111, 000001111}}
\(\cdots\cdots\)
S=3,具体解。
a(1)=1, {"0", {0}}
a(2)=3, {"01", {0, 1, 01}}
a(3)=6, {"012", {0, 1, 2, 01, 12, 012}}
a(4)=8, {"0012", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 012, 0012}}
a(5)=11, {"00112", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 011, 112, 0011, 0112, 00112}}
a(6)=15, {"001122", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 011, 112, 122, 0011, 0112, 1122, 00112, 01122, 001122}}
a(7)=19, {"0001122", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 011, 112, 122, 0001, 0011, 0112, 1122, 00011, 00112, 01122, 000112, 001122, 0001122}}
a(8)=24, {"00011122", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 011, 112, 122, 0001, 0011, 0111, 1112, 1122, 00011, 00111, 01112, 11122, 000111, 001112, 011122, 0001112, 0011122, 00011122}}
a(9)=30, {"000111222", {0, 1, 2, 01, 12, 001, 011, 112, 122, 0001, 0011, 0111, 1112, 1122, 1222, 00011, 00111, 01112, 11122, 11222, 000111, 001112, 011122, 111222, 0001112, 0011122, 0111222, 00011122, 00111222, 000111222}}
\(\cdots\cdots\)
S=4,具体解。
a(1)=1, {"0", {0}}
a(2)=3, {"01", {0, 1, 01}}
a(3)=6, {"012", {0, 1, 2, 01, 12, 012}}
a(4)=10, {"0123", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 012, 123, 0123}}
a(5)=13, {"00123", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 001, 012, 123, 0012, 0123, 00123}}
a(6)=17, {"001123", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 001, 011, 112, 123, 0011, 0112, 1123, 00112, 01123, 001123}}
a(7)=22, {"0011223", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 001, 011, 112, 122, 223, 0011, 0112, 1122, 1223, 00112, 01122, 11223, 001122, 011223, 0011223}}
a(8)=28, {"00112233", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 001, 011, 112, 122, 223, 233, 0011, 0112, 1122, 1223, 2233, 00112, 01122, 11223, 12233, 001122, 011223, 112233, 0011223, 0112233, 00112233}}
a(9)=34, {"000112233", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 001, 011, 112, 122, 223, 233, 0001, 0011, 0112, 1122, 1223, 2233, 00011, 00112, 01122, 11223, 12233, 000112, 001122, 011223, 112233, 0001122, 0011223, 0112233, 00011223, 00112233, 000112233}}
\(\cdots\cdots\)
S=5,具体解。
a(1)=1, {"0", {0}}
a(2)=3, {"01", {0, 1, 01}}
a(3)=6, {"012", {0, 1, 2, 01, 12, 012}}
a(4)=10, {"0123", {0, 1, 2, 3, 01, 12, 23, 012, 123, 0123}}
a(5)=15, {"01234", {0, 1, 2, 3, 4, 01, 12, 23, 34, 012, 123, 234, 0123, 1234, 01234}}
a(6)=19, {"001234", {0, 1, 2, 3, 4, 01, 12, 23, 34, 001, 012, 123, 234, 0012, 0123, 1234, 00123, 01234, 001234}}
a(7)=24, {"0011234", {0, 1, 2, 3, 4, 01, 12, 23, 34, 001, 011, 112, 123, 234, 0011, 0112, 1123, 1234, 00112, 01123, 11234, 001123, 011234, 0011234}}
a(8)=30, {"00112234", {0, 1, 2, 3, 4, 01, 12, 23, 34, 001, 011, 112, 122, 223, 234, 0011, 0112, 1122, 1223, 2234, 00112, 01122, 11223, 12234, 001122, 011223, 112234, 0011223, 0112234, 00112234}}
a(9)=37, {"001122334", {0, 1, 2, 3, 4, 01, 12, 23, 34, 001, 011, 112, 122, 223, 233, 334, 0011, 0112, 1122, 1223, 2233, 2334, 00112, 01122, 11223, 12233, 22334, 001122, 011223, 112233, 122334, 0011223, 0112233, 1122334, 00112233, 01122334, 001122334}}
\(\cdots\cdots\)
\(\cdots\cdots\)

1. Q[s_, n_] := Module[{A, B, d, T, R}, A = FrobeniusSolve[ConstantArray[1, s], n]; ——————这代码可以调整吗？？？？？
   
2. B = (Total[Boole[# > 0] & /[url=home.php?mod=space&uid=6175]@[/url] #] + Sum[#[[i]]*#[[j]], {i, s - 1}, {j, i + 1, s}]) & /@ A;
   
3. d = Max[B]; T = Flatten[Position[B, d]]; R = A[[T]]; If[Length[R] > 1, R = Sort[R, Function[{a, b},
   
4. Module[{i = 1}, While[i <= s && a[[i]] == b[[i]], i++]; If[i > s, False, a[[i]] > b[[i]]]]]];]; First[R]]
   
5. G[s_, n_] := Module[{U, V, W, f}, U = Q[s, n]; V = StringJoin[Flatten[Table[ConstantArray[ToString[i - 1], U[[i]]], {i, s}]]];
   
6. W = {}; Do[Do[AppendTo[W, StringTake[V, {i, j}]], {j, i, StringLength[V]}], {i, 1, StringLength[V]}]; W = DeleteDuplicates[W];
   
7. f = Select[W, StringLength[#] == 1 || Length[Union[Characters[#]]] > 1 &]; f = SortBy[f, {StringLength, # &}]; {V, f}]
   
8. Do[{V, f} = G[5, n]; P = "a(" <> ToString[n] <> ")=" <> ToString[Length[f]] <> ", {"" <> V <> "", {" <> StringRiffle[f, ", "] <> "}}"; Print[P], {n, 9}]

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王守恩

接楼上——绝妙的通项公式——可以改！！！！！

1. Table[(n (n + 1) - (s*Floor[n/s] + 2 Mod[n, s]) Floor[(n + s)/s] + 2 s + 2 (n - s) Floor[Ramp[(2 s - n)/s]])/2, {s, 2, 5}, {n, 50}]——————绝妙的通项公式！！！！！

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1. Table[(n (n + 1) - (s*Floor[n/s] + 2 Mod[n, s]) Floor[(n + s)/s] + 2Min[n, s])/2, {s, 2, 5}, {n, 50}]——————绝妙的通项公式——————可以改！！！！！

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——————这代码可以调整吗？？？？？——谢谢各位！！！！！