n=44, m=88
76 73 72 71 70 69 68 65 57 56 53 52 50 49 48 47 46 43 42 41 39 37 35 32 31 30 29 27 25 21 20 18 17 16 15 14 13 10 9 7 6 4 2 1
n=53, m=93
88 77 70 68 66 65 64 63 62 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 46 45 44 42 40 38 36 35 34 33 31 30 29 28 26 23 22 21 19 17 15 14 13 12 11 9 8 7 6 5 4 3 1
n=54,m=105
99 88 86 77 70 69 68 67 66 62 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 46 45 44 42 41 40 39 38 36 35 34 33 32 31 29 28 27 24 22 21 18 17 15 13 12 11 8 6 4 3 1
n=55,m=99
90 82 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 65 62 58 57 56 54 53 52 51 50 49 48 47 45 43 41 40 39 38 37 36 35 34 32 31 30 29 28 26 25 24 19 17 16 15 14 10 8 6 4 3 2 1
n=56,m=97
81 80 79 78 76 75 72 71 70 68 67 65 64 63 62 61 60 58 56 54 53 51 49 48 47 46 45 42 41 40 39 38 37 36 34 32 30 28 27 25 21 20 18 17 15 14 12 10 9 8 6 5 4 3 2 1
n=57,m=94
84 75 74 73 72 71 70 69 68 67 64 62 61 60 59 58 57 53 52 50 48 47 46 45 44 42 40 39 38 37 36 35 34 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 20 19 17 16 14 12 10 9 8 6 5 4 2 1
n=58, m=93
80 78 76 74 72 70 68 67 65 64 63 62 61 60 58 57 56 54 53 51 48 46 45 44 42 40 39 38 37 36 35 32 30 28 27 26 25 24 23 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 1
n=59 FOUND 95 81 79 78 75 74 73 72 70 67 65 63 62 61 60 59 57 56 55 54 53 50 48 47 46 45 44 43 39 38 35 34 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 21 19 18 17 16 15 14 13 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1
n=60 FOUND 94 84 77 74 73 71 70 69 67 66 65 64 63 62 61 60 59 57 56 55 53 52 51 50 49 48 47 45 43 42 41 38 35 34 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 20 19 18 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 5 4 2 1
n=61 FOUND 96 86 81 78 75 72 71 69 68 66 64 63 60 59 57 56 55 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 34 32 31 30 29 28 27 26 24 23 22 21 20 19 18 17 15 13 12 11 9 8 7 6 5 3 1
n=62 FOUND 95 85 81 78 74 71 69 66 65 64 63 62 61 60 58 57 55 53 52 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 30 29 27 26 25 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2
n=63 FOUND 96 85 79 77 76 75 72 71 68 66 65 64 63 62 61 59 57 56 55 53 52 50 49 48 47 46 45 44 43 42 40 39 38 36 35 33 32 31 29 28 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 4 2 1
n=64 FOUND 100 88 82 81 79 77 76 74 72 70 69 68 66 65 62 61 59 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 46 45 44 43 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 25 24 23 22 20 18 15 14 13 12 11 9 8 7 6 5 3 2 1
n=65 FOUND 107 99 88 84 79 78 77 75 74 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 59 58 56 55 54 53 52 51 48 47 46 45 44 43 42 40 39 38 34 33 32 29 28 27 26 25 24 23 22 21 19 18 17 16 15 14 13 11 10 9 7 5 4 3 2
n=66 FOUND 110 91 89 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 76 74 73 72 71 69 68 65 64 63 62 61 60 59 58 57 54 53 52 51 50 48 47 46 43 42 40 39 38 37 36 35 34 31 30 28 26 23 20 19 18 17 16 15 14 13 10 9 8 7 6 5 2 1
我的计算进度：
{67} >= 101
{68} >= 101
{69} >= 103
{70} >= 104
{71} >= 105
{72} >= 101
{73} >= 107
{74} >= 108
{75} >= 108
{76} >= 109
{77} >= 110
{78} >= 112
{79} >= 113
{80} >= 115
{80} >= 116，卡很久了
12和11比较困难，感觉要为它们写定制代码才行。而可以利用的信息是左边模8和11都是0或1，方程右边每项同样都是0或1，区分0和1的数目情况，可以分成简单几类，每类都可以先搜索数目少的情况。看上去模11应该更加适合分类。
另外6次幂情况6个数，我写了个针对性版本，穷举到100000左右都没有找到解，而计算速度显示后面没增加10000左右的范围，计算时间需要翻倍，所以几乎很难再穷举下去了。当然还有一个问题时由于找不到任何候选解来建议，代码是否存在bug也比较难以确认。
k=6,n<=6的定制程序可以轻松搜索完m<=100000的范围（前面代码搜索到5000左右就卡住了），可以并没有找到新的解，主要方案AI汇总如下
# k=6, n≤6 定制搜索代码总结
## 核心思想
对于本原解，m 不是 2, 3, 7 的倍数。利用 42=2×3×7 的因子分解，将 m^6 的分解问题转化为：先确定 1-3 个"特殊数"（满足特定模条件），再搜索剩余的 42 倍数。
## 五种 Case 分类
根据 x2(非2倍数), x3(非3倍数), x7(非7倍数) 三者是否合并：
| Case | 确定数 | 约束 | 余下搜索 | 候选数 |
|------|--------|------|---------|--------|
| 1: x2=x3=x7 | 1个x | x^6≡m^6 (mod 42^6) | ≤5个42倍数 | 144 |
| 2: x2=x3≠x7 | x23, x7 | x23:7倍数, x7:6倍数 | ≤4个42倍数 | 24×6 |
| 3: x2=x7≠x3 | x27, x3 | x27:3倍数, x3:14倍数 | ≤4个42倍数 | 24×6 |
| 4: x3=x7≠x2 | x37, x2 | x37:2倍数, x2:21倍数 | ≤4个42倍数 | 36×4 |
| 5: 全不同 | x2,x3,x7 | x2:21倍, x3:14倍, x7:6倍 | ≤3个42倍数 | 4×6×6 |
## 候选模数
| 变量 | 模数 | 值 | 候选残基数 |
|------|------|-----|-----------|
| Case1 x | 64×729×117649 | 5,489,031,744 | 144 |
| Case2 x23 | 64×729×7 | 326,592 | 24 |
| Case2 x7 | 6×117649 | 705,894 | 6 |
| Case3 x27 | 64×117649×3 | 22,588,608 | 24 |
| Case3 x3 | 14×729 | 10,206 | 6 |
| Case4 x37 | 729×117649×2 | 171,532,242 | 36 |
| Case4 x2 | 21×64 | 1,344 | 4 |
| Case5 | 同Case4 x2 + Case3 x3 + Case2 x7 | | 4×6×6 |
## 预计算表格
**mod 64 表**：8 个特解 `min_sol64`，通过遍历 x=1..15（奇数）构建。4 个解为 `x0, 32-x0, x0+32, 64-x0`。
**mod 729 表**：81 个特解 `min_sol729`，通过遍历 x=1..364（非3倍数）构建。6 个解为 `x0, x0+243, x0+486, 729-x0, 729-x0-243, 729-x0-486`。
**mod 117649 表**：16807 个特解 `min_sol7`，通过遍历 x=1..58824（非7倍数）构建。6 个解通过乘以基解 `{1, 34967, 34968, 82681, 82682, 117648}` 再取模得到。
## 搜索裁剪
`searchUpTo_count` 搜索不超过 h_max 个 42 倍数，裁剪条件：
- **mod 7/8/9 裁剪**：rem % d > h_max 时剪枝（每个数的 6 次方 mod d 只能贡献 0 或 1）
- **下界裁剪**：rem < T 时无解
- **上下界优化**：maxX = rem^(1/6), minX = (rem/h_max)^(1/6)
## 两个版本
| | l128dec_k6_lm.cpp | gmp2dec_k6_lm.cpp |
|---|---|---|
| 数据类型 | `__int128_t` | `mpz_class` (GMP) |
| m 范围 | ≤ ~38万（T数组溢出限制） | 理论无限 |
| 速度 | 快 | 较慢（GMP 开销） |
| 多线程 | OpenMP `schedule(dynamic)` | 同 |
## 已修复的 Bug（从 l128 同步到 GMP）
1. `initMod64Tables`：遍历范围 `x <= 7` → `x <= 15`
2. `getX64Candidates`：解公式 `x0+16, x0+32, x0+48` → `x0, 32-x0, x0+32, 64-x0`
3. `searchUpTo_count`：删除 `multiple` 参数，改用下界 `lb = (rem/h_max)^(1/6)` 优化
4. `searchCase` 参数类型：`ll` → `long`（模数值在 long 范围内）
5. 删除多线程中的 `ensureT` 调用（避免竞争）
## 性能参考（l128 版本）
| m 范围 | 时间 |
|--------|------|
| 10,000 | 0.13s |
| 20,000 | 0.79s |
| 40,000 | 3.8s |
| 60,000 | 12.3s |
| 100,000 | ~5min |
对应代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <gmpxx.h>
using namespace std;
typedef __int128_t ll;
ll power6(ll x) {
ll x2 = x * x;
ll x4 = x2 * x2;
return x4 * x2;
}
ostream& operator<<(ostream& os, ll n) {
if (n == 0) return os << '0';
if (n < 0) { os << '-'; n = -n; }
char buf; int i = 0;
while (n > 0) { buf = char('0' + (n % 10)); n /= 10; }
while (i--) os << buf;
return os;
}
long power6_mod(ll x, long mod) {
x %= mod;
long x2 = (x * x) % mod;
long x4 = (x2 * x2) % mod;
return (x4 * x2) % mod;
}
ll ext_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) {
if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
ll g = ext_gcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return g;
}
ll crt_merge(ll r1, ll m1, ll r2, ll m2) {
ll x, y;
ll g = ext_gcd(m1, m2, x, y);
if ((r2 - r1) % g != 0) return -1;
ll M = m1 / g * m2;
ll t1 = ((r2 - r1) / g) % (m2 / g);
if (t1 < 0) t1 += (m2 / g);
ll t2 = (x % (m2 / g));
if (t2 < 0) t2 += (m2 / g);
ll ans = (r1 + t1 * t2 % (m2 / g) * m1) % M;
if (ans < 0) ans += M;
return ans;
}
vector<ll> T;
unsigned long T_max = 0;
void initT(unsigned long maxVal) {
T.resize(maxVal + 1);
T = 0;
ll sum = 0;
for (unsigned long i = 1; i <= maxVal; i++) {
sum += power6((ll)i);
T = sum;
}
T_max = maxVal;
}
void ensureT(unsigned long maxVal) {
if (maxVal <= T_max) return;
T.resize(maxVal + 1);
ll sum = (T_max > 0) ? T : 0;
for (unsigned long i = T_max + 1; i <= maxVal; i++) {
sum += power6((ll)i);
T = sum;
}
T_max = maxVal;
}
int n;
long M64 = 64, M729 = 729, M7 = 117649, M42_6;
int min_sol64;
int min_sol729;
int min_sol7;
long sol7_base = {1, 34967, 34968, 82681, 82682, 117648};
void initMod64Tables() {
for (int x = 1; x <= 15; x += 2) {
long m6 = power6_mod(x, 64);
int idx = (m6 - 1) / 8;
min_sol64 = x;
}
}
void initMod729Tables() {
for (int x = 1; x < 365; x++) {
if (x % 3 == 0) continue;
long m6 = power6_mod(x, 729);
if (m6 % 9 == 1) {
int idx = (m6 - 1) / 9;
if (min_sol729 == 0) min_sol729 = x;
}
}
}
void initMod7Tables() {
for (int x = 1; x < 58825; x++) {
if (x % 7 == 0) continue;
long m6 = power6_mod(x, M7);
if (m6 % 7 == 1) {
int idx = (m6 - 1) / 7;
if (idx >= 0 && idx < 16807 && min_sol7 == 0) min_sol7 = x;
}
}
}
vector<long> getX64Candidates(long m6) {
vector<long> xs;
if (m6 == 0) {
for (long x = 2; x < 64; x += 2) xs.push_back(x);
} else if (m6 % 8 == 1) {
int idx = (m6 - 1) / 8;
long x0 = min_sol64;
xs.push_back(x0);
xs.push_back(32 - x0);
xs.push_back(x0 + 32);
xs.push_back(64 - x0);
}
return xs;
}
vector<long> getX729Candidates(long m6) {
vector<long> xs;
if (m6 == 0) {
for (long x = 3; x < 729; x += 3) xs.push_back(x);
} else if (m6 % 9 == 1) {
int idx = (m6 - 1) / 9;
long x0 = min_sol729;
if (x0 == 0) return xs;
xs.push_back(x0);
xs.push_back(x0 + 243);
xs.push_back(x0 + 486);
xs.push_back(729 - x0);
xs.push_back(729 - x0 - 243);
xs.push_back(729 - x0 - 486);
}
return xs;
}
vector<long> findX7Candidates(long m6) {
vector<long> xs;
if (m6 == 0) {
for (long x = 7; x < M7; x += 7) xs.push_back(x);
} else if (m6 % 7 == 1) {
int idx = (m6 - 1) / 7;
long x0 = min_sol7;
if (x0 == 0) return xs;
for (int i = 0; i < 6; i++) {
long x = (x0 * sol7_base) % M7;
xs.push_back(x);
}
}
return xs;
}
// Case 1: x2=x3=x7=x
vector<long> generateCase1Candidates(long m6_mod64, long m6_mod729, long m6_mod7) {
vector<long> cands64 = getX64Candidates(m6_mod64);
vector<long> cands729 = getX729Candidates(m6_mod729);
vector<long> cands7 = findX7Candidates(m6_mod7);
vector<long> residues;
for (long r64 : cands64) {
for (long r729 : cands729) {
ll r1 = crt_merge(r64, M64, r729, M729);
if (r1 < 0) continue;
for (long r7 : cands7) {
ll r2 = crt_merge(r1, M64 * M729, r7, M7);
if (r2 < 0) continue;
residues.push_back((long)r2);
}
}
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
// Case 2: x23 (7 multiple) + x7 (6 multiple)
vector<long> generateCase2x23Candidates(long m6_mod64, long m6_mod729) {
vector<long> cands64 = getX64Candidates(m6_mod64);
vector<long> cands729 = getX729Candidates(m6_mod729);
ll M_x23 = M64 * M729;
vector<long> residues;
for (long r64 : cands64) {
for (long r729 : cands729) {
ll r = crt_merge(r64, M64, r729, M729);
if (r < 0) continue;
ll r7 = crt_merge(r, M_x23, 0, 7);
if (r7 < 0) continue;
residues.push_back((long)r7);
}
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
vector<long> generateCase2x7Candidates(long m6_mod7) {
vector<long> cands7 = findX7Candidates(m6_mod7);
vector<long> residues;
for (long r7 : cands7) {
ll r = crt_merge(0, 6, r7, M7);
if (r < 0) continue;
residues.push_back((long)r);
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
// Case 3: x27 (3 multiple) + x3 (14 multiple)
vector<long> generateCase3x27Candidates(long m6_mod64, long m6_mod7) {
vector<long> cands64 = getX64Candidates(m6_mod64);
vector<long> cands7 = findX7Candidates(m6_mod7);
ll M_x27 = M64 * M7;
vector<long> residues;
for (long r64 : cands64) {
for (long r7 : cands7) {
ll r = crt_merge(r64, M64, r7, M7);
if (r < 0) continue;
ll r3 = crt_merge(r, M_x27, 0, 3);
if (r3 < 0) continue;
residues.push_back((long)r3);
}
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
vector<long> generateCase3x3Candidates(long m6_mod729) {
vector<long> cands729 = getX729Candidates(m6_mod729);
vector<long> residues;
for (long r729 : cands729) {
ll r = crt_merge(0, 14, r729, M729);
if (r < 0) continue;
residues.push_back((long)r);
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
// Case 4: x37 (2 multiple) + x2 (21 multiple)
vector<long> generateCase4x37Candidates(long m6_mod729, long m6_mod7) {
vector<long> cands729 = getX729Candidates(m6_mod729);
vector<long> cands7 = findX7Candidates(m6_mod7);
ll M_x37 = M729 * M7;
vector<long> residues;
for (long r729 : cands729) {
for (long r7 : cands7) {
ll r = crt_merge(r729, M729, r7, M7);
if (r < 0) continue;
ll r2 = crt_merge(r, M_x37, 0, 2);
if (r2 < 0) continue;
residues.push_back((long)r2);
}
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
vector<long> generateCase4x2Candidates(long m6_mod64) {
vector<long> cands64 = getX64Candidates(m6_mod64);
vector<long> residues;
for (long r64 : cands64) {
ll r = crt_merge(0, 21, r64, M64);
if (r < 0) continue;
residues.push_back((long)r);
}
sort(residues.begin(), residues.end(), greater<ll>());
return residues;
}
// Case 5: x2 (21), x3 (14), x7 (6) all different
vector<long> generateCase5x2Candidates( long m6_mod64) {
return generateCase4x2Candidates( m6_mod64);// Same logic
}
vector<long> generateCase5x3Candidates( long m6_mod729) {
return generateCase3x3Candidates(m6_mod729);// Same logic
}
vector<long> generateCase5x7Candidates( long m6_mod7) {
return generateCase2x7Candidates( m6_mod7);// Same logic
}
bool searchUpTo_count(ll rem, int h_max, vector<ll>& xs, bool first_round=true) {
if (rem == 0&&xs.size()>1) return true;
if (h_max == 0) return false;
if ((int)xs.size() >= n) return false;
ll r8 = rem % 8;
ll r9 = rem % 9;
ll r7v = rem % 7;
if (r8 > h_max) return false;
if (r9 > h_max) return false;
if (r7v > h_max) return false;
if (h_max > 0 && (unsigned long)h_max <= T_max && rem < T[(unsigned long)h_max]) return false;
ll prevX = first_round ? rem : xs.back();
double ub = pow((double)rem, 1.0/6);
long maxX = ceil(ub) + 1;
while (maxX > 0 && power6(maxX) > rem) maxX--;
if (maxX >= prevX) maxX = prevX - 1;
double lb = pow((double)rem/h_max, 1.0/6);
long minX = (long)ceil(lb);
if (minX > maxX) return false;
for (long x = maxX; x >= minX; x --) {
ll x6 = power6(x);
if (rem < x6) continue;
xs.push_back(x);
if (searchUpTo_count(rem - x6, h_max - 1, xs, false)) return true;
if (rem == x6) return true;
xs.pop_back();
}
return false;
}
bool searchCase(ll m, int case_num, long m6_mod64, long m6_mod729, long m6_mod7) {
ll mk = power6(m);
ll diff;
ll rem;
vector<ll> xs;
if (case_num == 1) {
vector<long> x_cands = generateCase1Candidates((long)m6_mod64, m6_mod729, m6_mod7);
if (x_cands.empty()) return false;
for (ll x_s : x_cands) {
ll M6=5489031744L;
for(ll x=x_s;x<m;x+=M6){
ll x6 = power6(x);
diff = mk - x6;
if(diff<=0)break;
if (diff % M42_6 != 0) {
cerr<<"Error1\n";
continue;
}
rem = diff / M42_6;
xs.clear();
xs.push_back(x);
if (searchUpTo_count(rem, n - 1, xs)) {
#pragma omp critical
{
cout << "FOUND Case1 m=" << m << ": ";
for (ll xi : xs) cout << xi << " ";
cout << endl;
cout.flush();
}
return true;
}
}
}
}
else if (case_num == 2) {
vector<long> x23_cands = generateCase2x23Candidates(m6_mod64, m6_mod729);
vector<long> x7_cands = generateCase2x7Candidates(m6_mod7);
if (x23_cands.empty() || x7_cands.empty()) return false;
ll M23=326592;
for (ll x23_s : x23_cands) {
for(ll x23 = x23_s;x23<m;x23+=M23){
ll x23_6 = power6(x23);
for (ll x7_s : x7_cands) {
ll M7=705894L;
for(ll x7=x7_s;x7<m;x7+=M7){
if (x7 == x23) continue;
ll x7_6 = power6(x7);
diff = mk - x23_6 - x7_6;
if(diff<0)break;
if (diff % M42_6 != 0){
cerr<<"Error2\n";
continue;
}
rem = diff / M42_6;
xs.clear();
xs.push_back(x23);
xs.push_back(x7);
if (searchUpTo_count(rem, n - 2, xs)) {
#pragma omp critical
{
cout << "FOUND Case2 m=" << m << ": ";
for (ll xi : xs) cout << xi << " ";
cout << endl;
cout.flush();
}
return true;
}
}
}
}
}
}
else if (case_num == 3) {
vector<long> x27_cands = generateCase3x27Candidates(m6_mod64, m6_mod7);
vector<long> x3_cands = generateCase3x3Candidates(m6_mod729);
if (x27_cands.empty() || x3_cands.empty()) return false;
for (ll x27_s : x27_cands) {
ll M27=22588608L;
for(ll x27=x27_s;x27<m;x27+=M27){
ll x27_6 = power6(x27);
for (ll x3_s : x3_cands) {
ll M3=10206;
for(ll x3=x3_s;x3<m;x3+=M3){
if (x3 == x27) continue;
ll x3_6 = power6(x3);
diff = mk - x27_6 - x3_6;
if(diff<0)break;
if (diff % M42_6 != 0) {
cerr<<"error3\n";
continue;
}
rem = diff / M42_6;
xs.clear();
xs.push_back(x27);
xs.push_back(x3);
if (searchUpTo_count(rem, n - 2, xs)) {
#pragma omp critical
{
cout << "FOUND Case3 m=" << m << ": ";
for (ll xi : xs) cout << xi << " ";
cout << endl;
cout.flush();
}
return true;
}
}
}
}
}
}
else if (case_num == 4) {
vector<long> x37_cands = generateCase4x37Candidates(m6_mod729, m6_mod7);
vector<long> x2_cands = generateCase4x2Candidates(m6_mod64);
if (x37_cands.empty() || x2_cands.empty()) return false;
for (ll x37_s : x37_cands) {
ll M37=171532242L;
for(ll x37=x37_s; x37<m; x37+=M37){
ll x37_6 = power6(x37);
for (ll x2_s : x2_cands) {
ll M2=1344;
for(ll x2=x2_s; x2<m;x2+=M2){
if (x2 == x37) continue;
ll x2_6 = power6(x2);
diff = mk - x37_6 - x2_6;
if(diff<0)break;
if (diff % M42_6 != 0) {
cerr<<"error4\n";
continue;
}
rem = diff / M42_6;
xs.clear();
xs.push_back(x37);
xs.push_back(x2);
if (searchUpTo_count(rem, n - 2, xs)) {
#pragma omp critical
{
cout << "FOUND Case4 m=" << m << ": ";
for (ll xi : xs) cout << xi << " ";
cout << endl;
cout.flush();
}
return true;
}
}
}
}
}
}
else if (case_num == 5) {
vector<long> x2_cands = generateCase5x2Candidates(m6_mod64);
vector<long> x3_cands = generateCase5x3Candidates(m6_mod729);
vector<long> x7_cands = generateCase5x7Candidates(m6_mod7);
if (x2_cands.empty() || x3_cands.empty() || x7_cands.empty()) return false;
for (ll x2_s : x2_cands) {
ll M2=1344;
for(ll x2=x2_s;x2<m;x2+=M2){
ll x2_6 = power6(x2);
for (ll x3_s : x3_cands) {
ll M3=10206;
for(ll x3=x3_s;x3<m;x3+=M3){
if (x3 == x2) continue;
ll x3_6 = power6(x3);
if(mk<x2_6+x3_6)break;
for (ll x7_s : x7_cands) {
ll M7=705894;
for(ll x7=x7_s;x7<m;x7+=M7){
if (x7 == x3 || x7==x2) continue;
ll x7_6 = power6(x7);
diff = mk - x2_6 - x3_6 - x7_6;
if(diff<0)break;
if (diff % M42_6 != 0) {
cerr<<"error5\n";
continue;
}
rem = diff / M42_6;
xs.clear();
xs.push_back(x2);
xs.push_back(x3);
xs.push_back(x7);
if (searchUpTo_count(rem, n - 3, xs)) {
#pragma omp critical
{
cout << "FOUND Case5 m=" << m << ": ";
for (ll xi : xs) cout << xi << " ";
cout << endl;
cout.flush();
}
return true;
}
}
}
}
}
}
}
}
return false;
}
bool is_primitive_candidate(ll m) {
return (m % 2 != 0 && m % 3 != 0 && m % 7 != 0);
}
int main(int argc, char* argv[]) {
if (argc < 4) {
cerr << "Usage: " << argv << " n m_start m_end" << endl;
return 1;
}
time_t start=time(NULL);
n = atoi(argv);
long m_start = atol(argv);
long m_end = atol(argv);
M42_6 = power6(42);
printf("k=6 n=%d m_start=%ld m_end=%ld\n", n, (long)m_start, (long)m_end);
printf("42^6 = %ld\n", (long)M42_6);
initMod64Tables();
initMod729Tables();
initMod7Tables();
long T_needed = m_end + 100;
initT((unsigned long)T_needed);
printf("initT done, T_max=%lu\n", T_max);
bool found=false;
long minm=-1;
#pragma omp parallel for schedule(dynamic)
for (long m = m_start; m <= m_end; m++) {
if (!is_primitive_candidate(m)) continue;
long m6_mod64 = power6_mod(m, 64);
long m6_mod729 = power6_mod(m, 729);
long m6_mod7 = power6_mod(m, M7);
for (int case_num = 1; case_num <= 5; case_num++) {
if(searchCase(m, case_num, m6_mod64, m6_mod729, m6_mod7)){
#pragma omp critical
{
{
found=true;
if(minm<0||m<minm){
minm=m;
}
}
}
}
}
if(m%100==1)
#pragma omp critical
{
long diff = time(NULL) -start;
cerr<<"m="<<m<<" processed cost "<<diff<<"s\n";
cerr.flush();
}
}
if(!found){
cout << "NO_SOLUTION in range" << endl;
}else{
cout << "Found best m = "<<minm<<endl;
}
return 1;
}
前面的总结不好，找了个中间版本的（可能包含部分错误）
k=6 大 m 搜索方案总结报告
一、问题背景
对于 k=6, n≤6 的本原解搜索，当 m 较大时（如 m > 5000），传统方法（模 7/8/9 裁剪）效率不足。需要利用 42=2×3×7 的因子分解特性进行更高效的剪枝。
二、数学基础
本原解必要条件
- m 不是 2, 3, 7 的倍数
- 对于每个解 x_i，要求 x_i^6 ≡ m^6 (mod 64/729/117649)
关键恒等式
对于 x^6 mod d：
- mod 64: 奇数 x → x^6 ≡ 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57（共8种，每种4解）
- mod 729: 非3倍数 x → x^6 ≡ 1 (mod 9)，共81种，每种6解
- mod 117649: 非7倍数 x → x^6 ≡ 1 (mod 7)，共16807种，每种6解
三、五种 Case 分类
根据 x2, x3, x7 是否相等，分为 5 种情况：
Case 描述 确定变量 倍数约束 余下搜索
1 x2=x3=x7 1个x 无 ≤5个42倍数
2 x2=x3≠x7 x23, x7 x23:7倍数, x7:6倍数 ≤4个42倍数
3 x2=x7≠x3 x27, x3 x27:3倍数, x3:14倍数 ≤4个42倍数
4 x3=x7≠x2 x37, x2 x37:2倍数, x2:21倍数 ≤4个42倍数
5 全不同 x2,x3,x7 x2:21, x3:14, x7:6 ≤3个42倍数
四、各 Case 的候选模数
Case 1: x2=x3=x7=x
模 值 候选数
M_total 64×729×117649 = 5489031744 144
最小候选 ~5.5×10^9 需 m > 5.5e9
Case 2: x23 (7倍数) + x7 (6倍数)
变量 模数 值 候选数 m范围影响
x23 M64×M729×7 326592 24 模<38万，需多重候选
x7 6×M7 705894 6 模>38万，单候选
Case 3: x27 (3倍数) + x3 (14倍数)
变量 模数 值 候选数 m范围影响
x27 M64×M7×3 22588608 24 模>38万，单候选
x3 14×M729 10206 6 模<38万，需多重候选
Case 4: x37 (2倍数) + x2 (21倍数)
变量 模数 值 候选数 m范围影响
x37 M729×M7×2 171532242 36 模>38万，单候选
x2 21×M64 1344 4 模<38万，需多重候选
Case 5: x2, x3, x7 全不同
变量 模数 值 候选数 m范围影响
x2 21×M64 1344 4 模<38万，需多重候选
x3 14×M729 10206 6 模<38万，需多重候选
x7 6×M7 705894 6 模>38万，单候选
五、模数总结表
模数 值 适用Case 38万范围内
42^6 5489031744 Case1全部候选 > m，单候选
326592 3.3×10^5 Case2 x23 < m，需循环生成
705894 7.1×10^5 Case2/5 x7 > m，单候选
22588608 2.3×10^7 Case3 x27 > m，单候选
10206 1.0×10^4 Case3/5 x3 < m，需循环生成
171532242 1.7×10^7 Case4 x37 > m，单候选
1344 1.3×10^3 Case4/5 x2 < m，需循环生成
六、候选生成策略
当模数 < m 时
需要生成所有候选：对每个 residue r，生成 x = r + k×mod for x < m
例如 Case 4 x2（模1344）：
- residue 可能有 4 种
- 对于 m = 100000，每个 residue 生成约 100000/1344 ≈ 74 个候选
- 总候选数约 4×74 = 296 个
当模数 > m 时
每个 residue 只有一个候选（如果 residue < m）
七、搜索复杂度对比
m范围 单线程时间 适合的Case
60000 27秒 Case2-5有效
380000 预估~3分钟 Case2-5有效
>5.5e9 Case1才有效 Case1开始有候选
八、优化建议
1. 多进程策略：按 m 范围分块，每块一个进程
2. 候选预计算：mod64/mod729 表格查询 O(1)，mod7 表格大小16807
3. 剪枝优化：
- rem % 8/9/7 > h_max 时剪枝
- rem < Th_max 时剪枝（需T数组不溢出）
4. 输出处理：使用 cout.setf(ios::unitbuf) 或 cout << flush 确保即时输出
九、当前测试结果
- m < 60000: 27秒，无解
- m < 380000: 多进程版本已编译，待测试
- Case 1-5 候选验证: 符合预期（144, 24×6, 24×6, 36×4, 4×6×6）
十、下一步
1. 测试 m < 380000 完整范围
2. 如果无解，考虑更大的 m 范围（Case 1 开始有效时）
3. 考虑 n=5 或更小 n 的情况
==================================
再添加一个初始描述内容：
gmp2dec_fork2.cpp对于k=6的场景使用了模8，模7和模9三种操作，但是对于n<=6加超大m如m>5000后搜索速度还是太慢了。我们现在目标是定制修改gmp2dec_fork2,处理k=6,n<=6的场景，希望能够处理超大的m. 对于每个m,如果是本源解，我们直到m必须不是2,3,7的倍数。然后我们可以首先找到一个小于m不是2的倍数的数x2使得m^6-x2^6是2^6=64的倍数。同样我们需要找一个小于m不是3的倍数的数x3使得m^6-x3^6是3^6的倍数，同样还需要找一个x7使得m^6-x7^6是7^6的倍数。这里x2,x3,x7之间可以有重叠，也可以完全不同。而除了x2,x3,x7以外，余下最多还有5个数，要求它们必须同时是2*3*7=42的倍数。而同样，如果x2和x3不同，那么我们要求x2是3的倍数，x3是2的倍数。同样如果x2和x7不同，x2必须是7的倍数，x7必须是2的倍数等等。当然还可以有x2,x3,x7都相同的情况，对应m^6-x2^6是42^6的倍数。所以根据三者是否两两相等共有8大类。其中每一类对应有1-3个已经确定的数。比如x2=x3!=x7, 那么我们已经确定(x2,x7)两个数，于是余下就变成我们求不超过4个数，使得它们的6次方之和等于(m^6-x2^6-x7^6)/42^6, 这时可以继续使用原先gmp2dec_fork2中递归搜索部分的逻辑去搜索，区别是原先搜索固定数目的数，现在改为不超过4个数，任何时候达到目的就报告结果。请帮忙设计方案
先记录一下现在找到的7次方结果(A395180)
n=6, m>=2168
n=7,m=568
525 439 430 413 266 258 127
n=8,m=102
90 85 83 64 58 53 35 12
n=9, m=62
59 50 41 33 27 22 20 14 6
n=10, m=89
77 75 70 65 52 48 35 29 12 4
n=11, m=54
49 47 39 27 24 21 5 4 3 2 1
n=12, m=57
55 43 37 33 27 26 23 18 17 15 8 7
n=13, m=49
46 36 34 33 32 30 26 24 12 10 9 7 2
n=14, m=47
43 40 35 22 21 20 18 17 11 9 8 7 4 2
n=15, m=40
39 28 25 22 21 20 18 17 16 14 12 9 5 3 1
n=16, m=45
37 36 35 34 33 31 25 24 20 19 17 14 5 4 3 2
n=17, m=43
38 34 33 30 29 27 26 22 19 18 17 15 13 9 4 2 1
n=18, m=43
37 36 32 31 29 27 24 22 19 18 16 13 11 8 6 4 3 1
n=19, m=44
38 36 33 31 30 29 27 22 21 20 18 17 14 13 11 7 6 4 3
n=20, m=46
42 36 34 30 29 28 27 25 22 20 19 16 15 14 7 6 5 4 2 1
n=21, m=45
40 36 33 32 31 27 26 24 22 19 16 15 12 11 10 8 7 5 4 2 1
n=22, m=44
37 34 33 32 31 30 29 26 25 24 23 22 21 20 16 15 13 9 8 7 5 4
n=23, m=47
40 36 35 34 33 32 31 30 26 25 23 21 20 17 14 12 11 8 7 6 3 2 1
n=24, m=46
39 36 35 34 32 30 29 28 25 24 22 20 19 18 16 14 12 9 8 6 4 3 2 1
n=25, m=48
42 38 37 35 31 29 28 27 25 23 22 20 18 14 13 12 11 9 8 7 6 5 4 3 1
n=26, m=49
41 40 39 36 31 30 29 28 27 25 23 21 19 18 17 14 13 12 10 9 8 7 6 4 3 1
n=27, m=47
43 35 33 32 31 29 28 27 26 25 24 22 20 19 18 17 16 13 11 9 8 7 6 4 3 2 1
n=28, m=47
41 39 33 32 31 30 29 28 25 24 22 21 20 18 16 15 14 13 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1
n=29, m=52
43 42 40 38 36 33 32 31 30 29 26 25 24 22 21 20 19 15 13 12 11 8 7 6 5 4 3 2 1
n=30, m=55
46 43 42 41 37 36 34 33 32 30 29 28 27 26 25 24 23 18 17 16 14 13 12 10 8 7 5 4 3 2
n=31, m=52
42 41 39 38 37 35 33 32 31 30 29 28 27 26 25 23 22 21 20 18 17 14 12 10 9 8 5 4 3 2 1
n=32, m=57
46 44 43 42 40 38 37 36 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 20 19 18 17 16 15 12 9 8 5 4 2
n=33, m=57
45 44 43 42 40 39 38 37 35 34 33 31 30 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 14 13 12 11 9 8 7 5 1
n=34, m=57
47 44 43 41 40 38 37 35 34 33 32 31 30 29 27 26 25 21 20 17 16 15 14 13 12 11 10 8 7 5 4 3 2 1
n=35, m=60
48 46 45 44 42 40 39 38 37 36 35 34 32 31 30 29 28 27 26 25 23 21 20 19 17 16 14 13 11 10 9 6 4 3 2
n=36, m=61
47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 34 33 32 31 30 28 27 26 24 22 21 19 17 16 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4
n=37, m=61
49 47 46 44 43 42 39 38 37 36 35 34 33 32 31 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 11 10 7 6 5 2 1
n=38, m=64
55 51 49 46 43 40 37 36 35 33 32 31 30 29 28 27 26 24 23 22 21 20 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 1
n=39, m=65
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n=40, m=65
54 49 48 47 46 45 44 41 38 37 35 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 22 21 20 19 18 17 16 13 12 11 10 9 8 7 6 5 3 2 1
n=41, m=69
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n=42, m=69
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n=43, m=70
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n=44, m=69
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n=45, m=72
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n=47, m=77
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n=48, m=77
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n=49, m=78
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n=53, m=86
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n=55, m=87
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n=56, m=89
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n=57, m=90
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n=59, m=93
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n=60, m=95
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n=63, m=98
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n=65, m=100
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n=66, m=104
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n=67, m=104
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n=68, m=106
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n=70, m=110
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n=73, m=113
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n=74, m=116
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n=76, m=118
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n=78, m=121
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n=79, m=123
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n=80, m=125
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n=81, m=127
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n=145, m=231
155 153 152 151 150 147 146 145 144 143 141 140 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
n=146, m=233
168 155 153 151 150 148 147 146 145 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 126 125 124 123 122 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
n=147, m=236
164 159 156 155 153 152 150 148 146 145 144 143 142 139 138 137 136 135 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 1
n=148, m=238
168 166 158 155 153 152 151 149 146 145 144 143 142 141 140 139 138 136 135 133 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 24 23 22 21 20 19 18 17 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 3 2 1
n=149, m=240
163 158 157 156 155 152 151 150 149 147 146 145 144 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 66 65 63 62 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
n=150, m=241
173 168 167 157 153 152 151 149 147 146 145 144 143 142 141 140 139 137 136 135 134 133 131 130 129 128 127 126 124 123 122 121 120 119 118 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
n=151, m=243
169 161 160 159 158 155 154 153 152 150 149 148 147 145 143 142 140 138 137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 6 5 4 3 2 1
这个计算难度更大一些：
A395519
a(n) is the smallest number k such that k^n is the sum of 2n distinct positive n-th powers.
DATA
3, 9, 13, 31, 32, 46, 47, 113, 47, 140
OFFSET
1,1
EXAMPLE
3^1 = 1^1 + 2^1;
9^2 = 2^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2;
13^3 = 1^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 10^3;
31^4 = 8^4 + 10^4 + 14^4 + 16^4 + 17^4 + 18^4 + 20^4 + 26^4;
32^5 = 2^5 + 3^5 + 7^5 + 8^5 + 9^5 + 11^5 + 15^5 + 17^5 + 19^5 + 31^5;
46^6 = 1^6 + 3^6 + 5^6 + 7^6 + 10^6 + 13^6 + 14^6 + 19^6 + 21^6 + 28^6 + 40^6 + 41^6;
47^7 = 2^7 + 4^7 + 7^7 + 8^7 + 9^7 + 11^7 + 17^7 + 18^7 + 20^7 + 21^7 + 22^7 + 35^7 + 40^7 + 43^7;
113^8 = 108^8 + 86^8 + 84^8 + 79^8 + 74^8 + 56^8 + 52^8 + 48^8 + 38^8 + 36^8 + 34^8 + 28^8 + 26^8 + 12^8 + 8^8 + 6^8;
47^9 = 1^9 + 2^9 + 4^9 + 7^9 + 11^9 + 14^9 + 15^9 + 18^9 + 26^9 + 27^9 + 30^9 + 31^9 + 32^9 + 33^9 + 36^9 + 38^9 + 39^9 + 43^9;
140^10 = 132^10 + 121^10 + 110^10 + 103^10 + 102^10 + 96^10 + 86^10 + 77^10 + 66^10 + 55^10 + 54^10 + 52^10 + 44^10 + 38^10 + 34^10 + 33^10 + 24^10 + 19^10 + 13^10 + 7^10;
目前其它幂次计算进度：
{11} >= 73
{12} >= 134
{13} >= 73
{14} >= 75
{15} >= 75
{16} >= 244
{17} >= 79
{18} >= 312
{19} >= 81
{20} >= 81
{21} >= 83
{22} >= 86
{23} >= 87
{24} >= 88
{25} >= 89
{26} >= 90
{27} >= 92
{28} >= 93
{29} >= 94
{30} >= 95
{31} >= 95
{32} >= 96
{33} >= 96
{34} >= 96
{35} >= 96
{36} >=201