等分三角形周长点构成的面积曲线
设三角形ABC三边长为a,b,c,若点P_1,P_2,P_3均在三条边上，且P_1,P_2,P_3依次为ABC的周长的三等分点，并记三角形P_1P_2P_3的面积为S，ABC的面积为S_0若记|AP_1|=x,S/S_0=y求y关于x函数表达式？
注：|AP_1|= AP_1当P_1在AB边上时
|AP_1|= c+BP_1当P_1在BC边上时
|AP_1|= c+a+CP_1当P_1在AC边上时
即把ABC三边,AB+BC+CA 当成一条直线（P_1,P_2,P_3依次在此直线上。0<=x<a+b+c） 这个不难，就是表达式比较繁杂。P1,P2,P3三点的坐标可以直接写出来，就是需要判断一下三点在三边的分布情况，
得到P1,P2,P3的坐标值，那么S就是这三点组成的行列式的值了 TO 2#:
只要将一般情形分类好，剩余计算问题就不是太难了。
首先要分成6种情形：
1. c<=(a+b+c)/3<=b<=a
2.c<=(a+b+c)/3<=a<=b
3.b<=(a+b+c)/3<=a<=c
4.b<=(a+b+c)/3<=c<=a
5.a<=(a+b+c)/3<=b<=c
6. a<=(a+b+c)/3<=c<=b
然后分P_1,P_2,P_3在哪一条边上作进一步分类计算？
有谁能够给出此分类条件？
AB BC CA
1. P_1 P_2,P_3 X
2. P_1 P_2 P_3
3. P_1 X P_2, P_3
4. X P_1 P_2,P_3
5. P_3 P_1 P_2
6. P_3 X P_1,P_2
7. P_3,P_2 P_1 X
8. P_3,P_2 X P_1
9. P_2 P_3 P_1
10.P_2 X P_3,P_1
11.P_1,P_2 X P_3
12.P_1,P_2 P_3 X
上面分类是否完备？
例如可以计算情形：a=3,b=4,c=5 数学星空 发表于 2013-7-13 09:04
a=3,b=4,c=5
曲线类型 基本上就是三段 或直线或抛物线，组合起来的分段函数。
48/5-(12 x)/5 0<=x<1
16-(56 x)/5+(12 x^2)/5 1<=x<=4
96/5-(12 x)/5 4<x<5
..\=ArcSin;
Plot],4-x Cos[\],1},{(4+x) Sin[\],4-(4+x) Cos[\],1}}],0<=x<1},{Abs@Det[{{0,x,1},{3-(x+4-5),0,1},{x Sin[\],4-x Cos[\],1}}],1<=x<=4},{Abs@Det[{{(x-4) Sin[\],4-(x-4) Cos[\],1},{x Sin[\],4-x Cos[\],1},{0,x-4,1}}],4<x<5}}],{x,0,5}] 不失一般性：我们可以设a>=b>=(a+b+c)/3>=c
令L=a+b+c,y=L/3+x-c,z=x+b-L/3,L_0为P_1P_2P_3的周长
1.当0<=x<=c时
S/S_0=1-x*(b-z)/(b*c)-y*(c-x)/(a*c)-z*(a-y)/(a*b)
L_0/L=(sqrt(x^2+(b-z)^2-2*x*(b-z)*cosA)+sqrt(y^2+(c-x)^2-2*y*(c-x)*cosB)+sqrt(z^2+(a-y)^2-2*z*(a-y)*cosC))/(a+b+c)
2.当c<=x<=a+c-L/3时
S/S_0=(x-a-c+2/3*L)*L/(3*a*b)
L_0/L=1/3*L+sqrt((a-1/3*L+c-x)^2+(x-a-c+2/3*L)^2-2*(a-1/3*L+c-x)*(x-a-c+2/3*L)*cosC)+sqrt((x-a-c+2/3*L)^2+(a+c-x)^2-2*(x-a-c+2/3*L)*(a+c-x)*cosC)
3.当a+c-L/3<=x<=L/3时
S/S_0=L*(a+c-x)/(3*a*b)
L_0/L=(sqrt((a+c-x)^2+(1/3*L+x-a-c)^2-(2*(a+c-x))*(1/3*L+x-a-c)*cosC)+1/3*L+sqrt((a+c-x)^2+(b+x-1/3*L)^2-(2*(a+c-x))*(b+x-1/3*L)*cosC))/(a+b+c)
注：0<=x<=c , L/3<=x<=c+L/3, 2/3*L<=x<=c+2/3*L时 S/S_0, L_0/L值是一致的
c<=x<=a+c-L/3 , L/3+c<=x<=c+a, 2/3*L+c<=x<=a+c+L/3时 S/S_0, L_0/L值是一致的
a+c-L/3<=x<=L/3 , a+c<=x<=2/3*L, a+c+L/3<=x<=L时 S/S_0, L_0/L值是一致的
例：取a=5,b=4,c=3
S/S_0关于x的函数图像
L_0/L关于x的函数图像
例：取a=13,b=12,c=5
S/S_0关于x的函数图像
L_0/L关于x的函数图像
貌似3,4,5,的情况 我们算出来的不太一致。 对于a=5,b=4,c=3
S/S_0=
1. 4/5-2/3*x+1/5*x^2 0<=x<=3
2. 1/5*x 3<=x<=4
3. 8/5-1/5*x 4<=x<=4
4. 4/5-2/3*(x-4)+1/5*(x-4)^2 4<=x<=7
5. 1/5*(x-4) 7<=x<=8
6. 8/5-1/5*(x-4) 8<=x<=8
7. 4/5-2/3*(x-8)+1/5*(x-8)^2 8<=x<=11
8. 1/5*(x-8) 11<=x<=12
9. 8/5-1/5*(x-8) 12<=x<=12
L_0/L=
1. 1/36*sqrt(18*x^2-72*x+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*x+144/5*x^2)+1/36*sqrt(162/5*x^2-648/5*x+144) 0<=x<=3
2. 1/3+1/36*sqrt(162/5*x^2-648/5*x+144)+1/36*sqrt(162/5*x^2-1296/5*x+576) 3<=x<=4
3. 1/36*sqrt(162/5*x^2-1944/5*x+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*x^2-1296/5*x+576) 4<=x<=4
4. 1/36*sqrt(18*(x-4)^2-72*(x-4)+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*(x-4)+144/5*(x-4)^2)+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-648/5*(x-4)+144) 4<=x<=7
5. 1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-648/5*(x-4)+144)+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1296/5*(x-4)+576) 7<=x<=8
6. 1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1944/5*(x-4)+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-4)^2-1296/5*(x-4)+576) 8<=x<=8
7. 1/36*sqrt(18*(x-8)^2-72*(x-8)+144)+1/36*sqrt(288/5-288/5*(x-8)+144/5*(x-8)^2)+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-648/5*(x-8)+144) 8<=x<=11
8. 1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-648/5*(x-8)+144)+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1296/5*(x-8)+576) 11<=x<=12
9. 1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1944/5*(x-8)+5904/5)+1/3+1/36*sqrt(162/5*(x-8)^2-1296/5*(x-8)+576) 12<=x<=12
数学星空 发表于 2013-7-17 23:05
对于a=5,b=4,c=3
1.
额， 我画的是 a=3,b=4,c=5的情况。
而且，我把x当作是斜边上的变量了。是我弄错了。
数学星空 发表于 2013-7-17 23:05
对于a=5,b=4,c=3
1.
这个分段函数应该是处处连续的吧
看你的意思好像在4，8，12处不连续 wayne 发表于 2013-7-18 14:14
这个分段函数应该是处处连续的吧
看你的意思好像在4，8，12处不连续
是连续点噢，只是这三个点是特殊点（P_i）za在三角形三个点时，可以将此点代入检验
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