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数学星空 发表于 2013-9-20 10:14:56

不等式问题（陈计）

设a_k>0(k=1..n),n>=2则 sum_{k=1}^n(k/(a_1+a_2+a_3+...+a_k))<=(2-((7*ln(2))/(8*ln(n))))*(1/a_1+1/a_2+1/a_3+...+1/a_n)

数学星空 发表于 2013-9-20 10:23:58

数学星空 发表于 2013-9-20 11:40:44

我们的问题是：
1.证明1#的结论？
2.设a_k>0(k=1..n),n>=2且 sum_{k=1}^n(k/(a_1+a_2+a_3+...+a_k))<=C_n*(1/a_1+1/a_2+1/a_3+...+1/a_n)
   求最佳的常数C_n(n=2,3,4,5,6,7,8,9,10)？

数学星空 发表于 2013-9-20 22:50:28

我们容易得到：
8*C_2-9=0，即C_2=9/8

9*C_3^4-72*C_3^3+376*C_3^2-1440*C_3+1296=0,即 C_3=1.20469294479979

2304*C_4^5-25104*C_4^4+119200*C_4^3-365000*C_4^2+625000*C_4-390625=0, 即 C_4=1.26110046476713

6568408355712890625-16348038574218750000*C_5+17553122560546875000*C_5^2-11176582512656250000*C_5^3+4830581264610937500*C_5^4-1494886942734750000*C_5^5+
341883194441085000*C_5^6-61226272086915600*C_5^7+9011878193599686*C_5^8-1098875530795536*C_5^9+112342074256200*C_5^10-9718030391600*C_5^11+704066360220*C_5^12-
42093407376*C_5^13+2000276856*C_5^14-70858800*C_5^15+1476225*C_5^16=0,
即 C_5=1.30373944369300

wayne 发表于 2013-9-23 13:20:39

数学星空 发表于 2013-9-20 22:50
我们容易得到：
，即



可以看成多元函数的条件极值问题。

构造拉格朗日函数，求偏导方程组，倒也不麻烦。


怎么只算到n=5，感觉软件应该可以轻松 算到 100的

数学星空 发表于 2013-9-23 23:06:28

有兴趣你可以试试哈，主要是求C_n所满足的方程很难得到?

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