论坛 › 难题征解 › 韦达形等幂和

fungarwai 发表于 2013-10-1 13:20:39

韦达形等幂和

prod_{r=1}^{n}(x-x_r)=sum_{r=0}^{n} a_r x^r=0

以a_r表示sum_{r=1}^{n} x_r^m

fungarwai 发表于 2013-10-2 08:01:53

证明当r_1=m-sum_{i=2}^n ir_i且s=sum_{i=1}^n r_i时：

sum_{r=1}^n x_r^m=sum_{r_i=0}^{frac{m}{i}} frac{m(s-1)!}{r_1!r_2!...r_n!} prod_{i=1}^n (-a_{n-i})^{r_i}

（对frac{m}{i}取整。）

fungarwai 发表于 2013-10-17 16:03:25

韦达形等幂和已证。

s_m=sum_{r=1}^n x_r^m,prod_{r=1}^n (x-x_r)=sum_{r=0}^n a_r x^r=0,sum_{i=1}^m ir_i=m

证明等幂和形韦达系数：a_{n-m}=sum_{r_i=0}^{frac{m}{i}} prod_{i=1}^m frac{(-s_i)^{r_i}}{i^{r_i} r_i!}

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