一道不等式题
已知函数 \( f(x)=2x-x^2 \)，函数 \( g(x)=\sin\left(\dfrac{πx}{2}\right) \)，证明：[*]当 \( x \in 时，\( f(x) \geqslant g(x) \)
[*]当 \( x \in 时，\( f(x) \leqslant \sqrt{g(x)} \)
[*]当 \( x \in 时，\( \sqrt{f(x)} \leqslant g\left(\sqrt{x}\right) \)
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谢谢！！:D 我来抛砖引玉吧：
第一问相当于证明当`-1 \leq x \leq 1`时
\[ f(x) \triangleq 1 - x^2 - \cos \left( \frac{\pi}{2} x\right) \geq 0. \]
当然，只需证明上式在`x \in `时成立即可。
我们来考察`f'(x)`，易知
\
不难证明，当`x \in \left`时`f'(x) \geq 0`，而当`x \in \left[\frac{3}{4},1\right]`时`f'(x) \leq 0`。
再结合`f(0)=f(1)=0`即可证得。 Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:10
我来抛砖引玉吧：
余弦可以用倍角公式展开，问题即是证明：
\
由于相减的这两个 起始点都一样，但一个是凸的正弦函数，一个是直线。所以恒大于等于0
我做了一个图：
本帖最后由 葡萄糖 于 2016-8-19 15:00 编辑
葡萄糖 发表于 2014-1-22 12:17
已知函数$f(x)=2x-x^2$,函数$g(x)=sin(\frac{πx}{2})$，证明：
ⅰ.当$x∈$时，\(f(x) \geqslant g(x)\)
ⅱ. 当$x∈$时，\(f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}\)
ⅲ. 当$x∈$时，\(\sqrt{f(x)}\leqslant g(\sqrt{x})\)
Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:21
也许，这道题的本质会和Chebyshev多项式有一定关系。
这个题与本征函数有什么样的联系？:)http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709d73366f0b6bc9c85.gif
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《矩阵论札记》P184
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